LinearAlgebraMIT_8_TheRankOfMatrix

这节课中主要讲解根据秩来判断方程组/矩阵的(solvability)解情况,即通过秩来判断(aumented matrix)增广矩阵的解。我们需要直接求解方程组的解就是求解矩阵的解。

x.1 判断(非齐次线性方程组)Ax=b是否有解

我们以下面这个方程组为例,它具有3个约束条件和4个自由量,

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我们将其转换为矩阵的形式,不含系数[b1, b2, b3]的矩阵叫做coefficients matrix系数矩阵,包含系数的矩阵叫做(augmented matrix)增广矩阵,

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接下来我们使用(elimination)消元法对增广矩阵进行化简,得到如下的(row echelon form)阶梯矩阵,并找到了(pivot columns)主列。通过观察我们能够发现,如果该方程组要有解,则第三个方程的等号左边得等于右边,即0=b3-b2-b1,

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要判断形如Ax=b是否有解,我们通过线性组合的知识即判断b是否是A的列分向量的线性组合

x.2 求解Ax=b的步骤

求解步骤分为两步走,以教程为例,先求解Ax=b的(particular solution)特解,在这一步骤中我们需要将(free variables)自由量全部设置为0,即将x2=x4=0,然后求解x1和x2,

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于是我们求得了特解如下,

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第二步,我们需要求得Ax=0的(special solution)通解,即求得(null space)零空间的通解,我们将所有的通解的线性组合和唯一的特解相加,即得到了Ax=b的所有解,推导过程如下,

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如何求解Ax=0的所有解在上一节中已经讲过。我们将特解和通解相加便得到了Ax=b的全部解,如下,

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我们最终得到的解空间易见是一个四维向量空间,我们在四维空间中画出我们的解空间。易见特解是四维空间的一个点,而通解是四维空间中的平面,我们的解空间画图如下,需要注意的是他其实并不一定是我们严格定义上的(subspace)向量子空间。

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x.3 通过(rank)秩来判断Ax=b的解情况

接下来是重点,对于一个形如mxn,秩为r的增广矩阵[A|b],我们如何判断其对应的Ax=b的解情况呢?

首先我们需要知道r<=m且r<=n,而满秩矩阵则指的是r=n的矩阵,自由列的数量则是n-r。

我们总结如下,R都值得是(pref)最简矩阵,其中第三种和第四种情况中I和F相交错是因为主列和自由列不一定谁在前在后,在只做行变的前提下,他们可能是交替出现的。

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