数据结构与算法--求1~n能组成的所有二叉搜索树的排列

给定一个整数n，生成并返回所有N个节点组成并且节点值从1到n互不相同的不同二叉树，可以按照任意顺序

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全排列问题

排列组合的问题在之前的文中我们已经求解过：
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在求数组全排列的过程中，我们将数组的每一位看成是独立的，接着每一位上分别排列1~9 的每一位树，一次对数组的n为进行递归，得到我们的全排列。
现题中需要让1~n 组成n 个阶段的不同二叉树，也就是我们需要求解二叉树的全排列

方法一：转为数组全排列实现

在构造二叉树时候，我们将比root 节点小的放左边，大的放右边，那么如果有从1~n的数组依次对每一个节点构造二叉树的方式进行insert。那么我们能够得到一颗二叉树 T1
如果我们修改数组的顺序，修改成 k…k-1， 1， k+1，…n-1， n，接着生成二叉树T2
那么T1和 T2 大概率是不同的，特殊情况如下：
情况一：3,1，2,4，5

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情况二：3,4，5,1，2

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如上两种情况，在中间节点是root节点时，大节点列表4,5 与小节点列表 1,2 分别在两侧，不管数组如何排列，生成的二叉树是相同的。
经过如上分析，那么我们有如下的实现方案：
- 生成一个1~n的数组，并且求数组的全排列
- 每生成一个不同的数组排列，将该数组构建成一个二叉排序树，并且记录改二叉排序树的前序遍历生成的字符。并存储在数组 StrLIst中
- 如果 StrList中存在元素 k 与当前生成的二叉树的前序遍历字符一致，那么说明这种情况以及生成过
- 如果StrList中不存在，那么我们将新构建的NewBinary添加到我们的二叉排序树数组 BinaryList中。
如上分析有如下代码：

/*** 给定一个整数n，生成并返回所有N个节点组成并且节点值从1到n互不相同的不同二叉树，可以按照任意顺序* 解析：求解1~n能组成多少个不同的二叉搜索树* @author liaojiamin* @Date:Created in 10:15 2021/7/22*/
public class BuildGenerateTrees {public static void main(String[] args) {List<BinaryNode> binaryNodes = new ArrayList<>();List<String> middleSearch  = new ArrayList<>();binaryNodes = generateTrees(4);for (int i = 0; i < binaryNodes.size(); i++) {StringBuilder strBu = new StringBuilder();middleSearch.add(printTree(binaryNodes.get(i),strBu));}middleSearch.forEach(System.out::println);}/*** 方法一* 构造二叉树全排列：构造数组全排列，数组构造成二叉树，通过前序遍历值筛选二叉树* */public static List<BinaryNode> generateTrees(int n){List<BinaryNode> binaryNodes = new ArrayList<>();List<String> middleSearchStr = new ArrayList<>();int[] array = new int[n];for (int i = 1; i <= n; i++) {array[i-1] = i;}return buildGenerateTree(array, binaryNodes, 0, middleSearchStr);}/*** 生成数组的全排列，每种排列按顺序生成二叉树* */public static List<BinaryNode> buildGenerateTree(int[] array, List<BinaryNode> binaryNodes, int start, List<String> middleSearchStr){if(array == null || array.length <=1 || start == (array.length -1)){BinaryNode newNode = buildBinarySearchTree(array);StringBuilder str = new StringBuilder();String middleStr = printTree(newNode, str );if(!middleSearchStr.contains(middleStr)){middleSearchStr.add(middleStr);binaryNodes.add(newNode);}}for (int i = start; i < array.length; i++) {int temp = array[i];array[i] = array[start];array[start] = temp;buildGenerateTree(array, binaryNodes, start+1, middleSearchStr);temp = array[i];array[i] = array[start];array[start] = temp;}return binaryNodes;}/*** 前序遍历字符集合* */public static String printTree(BinaryNode t, StringBuilder strbu) {if (t == null || t.getElement() == null) {return strbu.toString();}for (int i = 0; i < t.getCount(); i++) {strbu.append(t.getElement() + ":" + t.getHeight()+" ");}printTree(t.getLeft(), strbu);printTree(t.getRight(), strbu);return strbu.toString();}/*** 根据数组构造二叉树* */public static BinaryNode buildBinarySearchTree(int[] array){if(array == null || array.length <= 0){return null;}BinaryNode node = new BinaryNode(null, null, null);for (int i = 0; i < array.length; i++) {node = insertNode(node, array[i]);}return node;}/*** 插入节点构造二叉搜索树* */public static BinaryNode insertNode(BinaryNode node, Integer k){if(k == null){return node;}if(node == null || node.getElement() == null){node = new BinaryNode(k, null, null);}int validateK = node.compareTo(k);if(validateK > 0){node.setLeft(insertNode(node.getLeft(), k));}else if (validateK < 0){node.setRight(insertNode(node.getRight(), k));}return node;}
}

如上实现方案时间复杂度在O(n²), 空间复杂度存在两部分，一部分二叉搜索树数组，这部分取决于节点数量，数量不同排列的个数不同，另一部分在于存储二叉排序树的前序遍历字符串，因此空间复杂度也不会小。

方法二：分治法

方案一的时间复杂度，空间复杂度都不是太理想，第一想法实现方案往往题目没有这么简单，在方法一中我们实现我们是受到之前文章中思路的影响，将之前的排列组合的思路套用在二叉搜索树的排列上，但是因为两种数据结构本身复杂度就相差很大，导致二叉搜索树的排列问题异常复杂。
我们换一种思路，这个也是看到别的思路，看到后就茅塞顿开，因为一旦思路被固定住，要想跳出来还是比较困难的，就和写小说的作者肯定不会去看别人写的小说是一个道理。
我们直接将数组全排列思想用到二叉树搜索树中：
- 在1~n中每个数字都有可能是根节点，确定根节点后 k，k 之前的数据 1 ~ k就是左子树，在k ~ n中每一个就是右子树
- 那么我们遍历1 ~ n中每一位，让每个数都构造成不同根的一棵二叉搜索树
- 接着处理左子树 1 ~ k，同样，1~k中的左子树也是一棵二叉搜索树，依然套用以上逻辑，右子树同理。分别记录为leftList， rightLIst
- 那么构造完左右子树后，我们只需要在左子树 leftList，rightList进行组合（双循环构造每种排列方式），就得到了整个二叉树的排列
  -如下图，列举其中一种情况：

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经如上分析有如下代码：

/*** 给定一个整数n，生成并返回所有N个节点组成并且节点值从1到n互不相同的不同二叉树，可以按照任意顺序* 解析：求解1~n能组成多少个不同的二叉搜索树* @author liaojiamin* @Date:Created in 10:15 2021/7/22*/
public class BuildGenerateTrees {public static void main(String[] args) {List<BinaryNode> binaryNodes = generateTreesBinary(1, 4);BinarySearchTree binarySearchTree = new BinarySearchTree();for (BinaryNode binaryNode : binaryNodes) {binarySearchTree.printTree(binaryNode);}}/*** 方法二* 分治法* */public static List<BinaryNode>generateTreesBinary(int start, int end){List<BinaryNode> binaryNodes = new LinkedList<>();if(start > end){binaryNodes.add(null);return binaryNodes;}for (int i=start;i<=end;i++){List<BinaryNode> leftNode = generateTreesBinary(start, i-1);List<BinaryNode> rightNode = generateTreesBinary(i+1, end);for (BinaryNode left : leftNode) {for (BinaryNode right : rightNode) {binaryNodes.add(new BinaryNode(i, left, right));}}}return binaryNodes;}
}