7-3 最短路径 (20 分)（分支限界+思路+详解）

一：题目

给定一个有N个顶点和E条边的无向图，顶点从0到N−1编号。请判断给定的两个顶点之间是否有路径存在。如果存在，给出最短路径长度。这里定义顶点到自身的最短路径长度为0。进行搜索时，假设我们总是从编号最小的顶点出发，按编号递增的顺序访问邻接点。

输入格式:
输入第1行给出2个整数N(0<N≤10)和E，分别是图的顶点数和边数。随后E行，每行给出一条边的两个顶点。每行中的数字之间用1空格分隔。最后一行给出两个顶点编号i，j（0≤i,j<N）,i和j之间用空格分隔。

输出格式:
如果i和j之间存在路径，则输出"The length of the shortest path between i and j is X."，X为最短路径长度，否则输出"There is no path between i and j."。

输入样例1:

结尾无空行
输出样例1:

The length of the shortest path between 0 and 3 is 2.

结尾无空行
输入样例2:

结尾无空行
输出样例2:

There is no path between 0 and 6.

二：思路

分析:1.这个题没给边的权值，但我们通过示例可以大概知道默认的为每条边的权值为1

思路:1.先判断输入的值之间是否有路径,可以通过DFS来遍历其中一个顶点的所有邻接点
如果另一个邻接点没有在其中，那么就说明其是不通的
2.如果两个点是相连通的，那么我们接下来就是BFS遍历
3.我们将图的信息转换成树的结构，我们在遍历树的时候采用的就是BFS
1>:首先我们将给定的两个结点的其中一个结点入队，接下来，将其出队当作扩展结点
这个新节点（在树当中的）有自己路径，还有权值和，以及层数。
2>:然后就判断这个结点（树）是否已经到达了目标结点，如果到，那么判断这个结点
的路径和跟bestw的值看是否更新，
如果没到目标结点，判断其路径和跟已知bestw 如果比起大就进行剪枝操作
再接下来，就是开始遍历其邻接点入队操作。

4.注意代码中的 node.x[t] 这其中 t代表的是层数，node.x[t]代表的是图的一个结点号
在这里插入图片描述

三：上码

/**分析:1.这个题没给边的权值，但我们通过示例可以大概知道默认的为 每条边的权值为1 思路:1.先判断输入的值之间是否有路径,可以通过DFS来遍历其中一个顶点的所有邻接点如果另一个邻接点没有在其中，那么就说明 其是不通的 2.如果两个点是相连通的，那么我们接下来就是BFS遍历 3.我们将图的信息转换成树的结构，我们在遍历树的时候采用的就是BFS1>:首先我们将给定的两个结点的其中一个结点入队，接下来，将其出队当作扩展结点 这个新节点（在树当中的）有自己路径，还有权值和，以及层数。2>:然后就判断这个结点（树）是否已经到达了目标结点，如果到，那么判断这个结点的路径和跟bestw的值看是否更新，如果没到目标结点，判断其路径和跟已知bestw 如果比起大就进行剪枝操作再接下来，就是开始遍历其邻接点入队操作。	 4.注意代码中的 node.x[t] 这其中 t代表的是层数，node.x[t]代表的是图的一个结点号 
*/#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;int INF = 999999;
int maps[11][11];//存图用的数组。 
int N,M;
int bestw = INF;
int cnt = 0;
int vis2[11] = {0};struct Node{int x[100];//记录树的路径int layer;//记录层数int cl;//记录已经走过的路径长度 
}; bool operator<(const Node& a,const Node& b){return a.cl > b.cl;//升序处理 小的数在前面 
} //判断是否可达
void dfs(int a,int b){if(a == b){cnt = 1;return;}	vis2[a] = 1;for(int i = 0; i < N; i++){if(vis2[i] != 1 && maps[a][i] == 1){	dfs(i,b); }} //	cout << "wyj";
} 
// 
//求取最短路径 
void bfs(int a,int b){priority_queue<Node>q; Node node1;node1.cl = 0;node1.layer = 0;//我们是从第0层开始的 for(int i = 0; i < N; i++){//初始化路径 node1.x[i] = i; }   node1.x[0] = a;q.push(node1);while(!q.empty()){	int vis[11] = {0};vis[a] = 1;Node newnode;//扩展结点 newnode = q.top();q.pop();int t1 = newnode.layer;//代表当前的层数 int t2 = newnode.x[t1];//代表当前所到达的结点号 //比较该节点的路径中，是否到达了目标结点if(t2 == b) {if(newnode.cl < bestw){bestw = newnode.cl;}else{//到达目标结点 如果还未成功的话，那就不用继续往下遍历了 continue;}	}if(newnode.cl >= bestw)//进行剪枝操作 continue;//将其扩展结点的邻接点入队for(int j = 0; j < N; j++){if(vis[j] != 1 && newnode.cl + maps[t2][j] < bestw) {int flag = 1; for(int k = 0; k < t1; k++){if(newnode.x[k] == j){flag = 0;		}	} if(flag == 0) continue; //这里主要处理的就是  不让这个路径往回走 vis[j] = 1; //我们创建一个新的结点（在排列树当中） Node node2;node2.cl = newnode.cl + maps[t2][j];node2.layer = t1 + 1;for(int i = 0; i < N; i++){node2.x[i] = newnode.x[i];}		swap(node2.x[t1+1],j);//t1代表的是层数，node.x[t1]代表该层数所对应图当中的结点号 q.push(node2);			}			}		 } 	
} int main(){	 int target1,target2;//两个目标结点 cin >> N >> M;for(int i = 0; i < N; i++){for(int j = 0; j < N; j++){if(i == j){maps[i][j] = 0;}maps[i][j] = INF;}}for(int i = 0; i < M; i++){int side1,side2;cin >> side1 >> side2;maps[side1][side2] = 1;maps[side2][side1] = 1;  }cin >> target1 >> target2; dfs(target1,target2);if(cnt == 0){cout << "There is no path between "<< target1 <<" and " << target2 << ".";} else{bfs(target1,target2);cout << "The length of the shortest path between "<<target1 << " and "<< target2<<" is "<< bestw<<".";	}} //7 6
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//4 2