内容提要:

1 群代数; 2 域上的有限维群代数和Maschke定理; 3 函数环; 4 代数闭域上的群表示论; 本文主要参考文献.

本文的前置内容为:

格罗卜：群论(1): 群, 同构定理, 循环群

格罗卜：群论(2): 群作用, Sylow定理

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1-1. [群代数] 如果

• (1)
  首先是自由
  -模, 它有基
• (2)
  的乘法由群乘法给出, 并线性扩张到整个
  上.

注:

1-2. [整群环上的模] 如果

整群环. 整群环

• ;
• ;
• .

反之, 假如我们有群

• ;
• .

那么交换群

1-3. [群代数的泛性质]

1-4. [乘积的群代数]

[证明] 抽象废话.

2 域上的有限维群代数和Maschke定理

2-1. [非特征

有限群,

[证明] 首先定义一个特殊元素

, 它显然不是

, 并且对于任意的

都有

, 由此可见

是一个

双侧理想.
然而

, 也就是说

,

.

2-2. [向量空间态射变模态射]

有限群,

2-3. [Maschke定理]

有限群,

[证明] 对于任意的

和

的子模

,

作为

-向量空间有直和分解:

,

考虑投射

, 并令

, 于是有

,

, 因此

.

2-4. [例子]

2-5. [例子]

3 函数环

3-1. [点态函数环]

有限群, 点态函数环.

我们记

• 作为有限维
  -向量空间有对偶基:
  即

我们来给出

• 的乘法: 点态乘法.
• 的幺元为
  即在任意
  处取
  值的函数.
• 的零元为
  , 即任意
  处取
  值的函数.
• 为两两正交的幂等元, 所以
  .

3-2. [卷积函数环]

有限群, 卷积函数环.

我们记

• 作为有限维
  -向量空间有对偶基:
  即

我们来给出

• 的乘法: 任意
  定义乘法:
  .
• 的幺元为
  .
• 的零元为
  , 即任意
  处取
  值的函数.
• , 所以作为
  -代数有
  .

4 代数闭域上的群表示论

4-0. 基本假定: 在此小节中, 始终假定

有限群, 代数闭域,

4-1. [分解为矩阵环的积] 由于

有限群, 代数闭域,

4-2. [数量关系] 条件同4-1, 我们有

[证明] 直接比较维数即可.

4-3.

• 我们总是可以认为
  , 即分解中的子代数
  .

4-4. [共轭类] 用

4-5. [群代数的中心] 根据定义, 我们有:

进一步地, 有:

[证明] 首先, 显然的

是

-线性无关的.

然后, 对于任意

, 任意

, 由

可以得到

对任意

,

.

4-6. [数量关系] 我们有

4-7. [交换群情形]

4-8. [Schur引理]

有限群, 代数闭域,

[证明]

是有限维可除

-代数, 因此

.

4-9. [一般线性群] 给定

4-10. [有限群的表示]

4-11. [一一对应] 给定

本文主要参考文献: Joseph J.Rotman : 高等近世代数, Advanced Modern Algebra, 出版社:机械工业出版社, ISBN:9787111191605

高等近世代数 (豆瓣)​book.douban.com