参考资料

《精通MATLAB最优化计算（第二版）》

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Matlab 2019a

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权重改进的粒子群算法

在微粒群算法的可调整参数中，惯性权重

是最重要的参数，

有利于提高算法的全局搜索能力，而较小的

会增强算法的局部搜索能力

线性递减权重法

• 原理

由于较大的惯性因子有利于跳出局部极小点，便于全局搜索，而较小的惯性因子则有利于对当前的搜索区域进行精确局部搜索，以利于算法收敛，因此针对PSO算法容易早熟以及算法后期易在全局最优解附近产生振荡现象，可以采用线性变化的权重，让惯性权重从最大值

线性减小到最小值

随算法迭代次数的变化公式为：

其中，

、

分别表示

的最大值和最小值，

表示当前迭代步数，

表示最大迭代步数，通常取

。

• 算法步骤

线性递减粒子群算法的基本步骤如下：

【1】随机初始化种群中各微粒的位置和速度；

【2】评价每个微粒的适应度，将当前各微粒的位置和适应值存储在各微粒的pbest中，将所有pbest中适应值最优个体的位置和适应值存储于gbest中；

【3】用下式更新粒子的速度和位移：

【4】更新权重

；

【5】对每个微粒，将其适应值与其经历过的最好位置作比较，如果较好，则将其作为当前的最好位置；比较当前所有pbest和gbest的值，更新gbest；

【6】若满足停止条件（通常为预设的运算精度或迭代次数），搜索停止，输出结果，否则返回【3】继续搜索。

• Matlab代码与试算

用线性递减权重的粒子群算法求函数

的最小值。其中粒子数取40，学习因子都取2，最大权重取0.9，最小权重取0.4，迭代步数取10000。

解：此函数的最小点为

，最小值为

。

建立目标函数文件fitness.m

fitness.m

function

test.m

[

LDW_PSO.m

function

命令行窗口

x_optimization 

对于本例题中的函数而言，用线性递减权重的粒子群算法求得了非常精确的最优点。但是在实际问题中，对于不同问题，其每次迭代所需的比例关系并不相同，所以

的线性递减只对某些问题很有效。

此外，如果在进化初期搜索不到最优点，随着

的逐渐减小，算法局部收敛能力加强，容易陷入局部最优；如果在进化初期探测到次好点，这时

的相对取小就可使算法很快搜索到最优点，而

的线性递减降低了算法的收敛速度。

自适应权重法

• 原理

为了平衡PSO算法的全局搜索能力和局部改良能力，还可采用非线性的动态惯性权重系数公式，其表达式如下：

其中

分别表示

的最大值和最小值，

表示粒子当前的目标函数值，

和

分别表示当前所有微粒的平均目标值和最小目标值。在上式中，惯性权重随着微粒的目标函数值而自动改变，因此称为

当各微粒的目标值趋于一致或者趋于局部最优时，将使惯性权重增加，而各微粒的目标值比较分散时，将使惯性权重减小，同时对于目标函数值优于平均目标值的微粒，其对应的惯性权重因子较小，从而保护了该微粒，反之对于目标函数值差于平均目标值的微粒，其对应的惯性权重因子较大，使得该微粒向较好的搜索区域靠拢。

• 算法步骤

自适应权重粒子群算法的基本步骤如下：

【1】随机初始化种群中各微粒的位置和速度；

【2】评价每个微粒的适应度，将当前各微粒的位置和适应值存储在各微粒的pbest中，将所有pbest中适应值最优个体的位置和适应值存储于gbest中；

【3】用下式更新粒子的速度和位移：

【4】更新权重

【5】对每个微粒，将其适应值与其经历过的最好位置作比较，如果较好，则将其作为当前的最好位置；比较当前所有pbest和gbest的值，更新gbest；

【6】若满足停止条件（通常为预设的运算精度或迭代次数），搜索停止，输出结果，否则返回【3】继续搜索。

• Matlab代码与试算

用自适应权重的粒子群算法求函数

解：建立fitness.m文件

fitness.m

function

test.m

[

AW_PSO.m

function

命令行窗口

x_optimization =1.0e-06 *0.172784775909731-0.008767853535804f_optimization =0

本例题中的函数的最小点为

，最小值为0，自适应权重的粒子群算法求得的结果的精度还是可以的。

随机权重法

• 原理

将PSO算法中设定

为服从某种随机分布的随机数，这样一定程度上可从两方面来克服

的线性递减所带来的不足。

首先，如果在进化初期接近最好点，随机

可能产生相对小的

值，加快算法的收敛速度，另外，如果在算法初期找不到最好点，

的线性递减，使得算法最终收敛不到此最好点，而

其中

表示标准正态分布的随机数，

表示0到1之间的随机数。

• 算法步骤

随机权重粒子群算法的基本步骤如下：

【1】随机初始化种群中各微粒的位置和速度；

【2】评价每个微粒的适应度，将当前各微粒的位置和适应值存储在各微粒的pbest中，将所有pbest中适应值最优个体的位置和适应值存储于gbest中；

【3】用下式更新粒子的速度和位移：

【4】更新权重

【5】对每个微粒，将其适应值与其经历过的最好位置作比较，如果较好，则将其作为当前的最好位置；比较当前所有pbest和gbest的值，更新gbest；

【6】若满足停止条件（通常为预设的运算精度或迭代次数），搜索停止，输出结果，否则返回【3】继续搜索。

• Matlab代码与试算

求下面函数的最小值

取粒子数为40，学习因子都取2，随机权重平均值的最大值取0.8，随机权重平均值的最小值取0.5，随机权重平均值的方差取0.2，迭代步数取10000。

解：首先建立目标函数文件fitness.m文件

fitness.m

function

test.m

[

RW_PSO.m

function

命令行窗口

x_optimization =-0.0898420111454120.712656402204421f_optimization =-1.031628453489878

本题中的函数的理论最小点有两个，分别为

和

，最小值为

，随机权重的粒子群算法求得的结果精度还可以。

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