一文读懂背包问题

转自：刘毅
https://www.61mon.com/index.php/archives/188/

问题展开

有 N 件物品和一个容量为 V 的背包。第 i 件物品的体积是 Ci，其价值是 Wi。求解，在不超过背包容量情况下，将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

基本思路

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件。

状态 F[i,v] 表示前 i 件物品中选择若干件放在容量为 v 的背包中，可以取得的最大价值。

转移方程：

对于第 i 件物品，有放与不放两种选择。若选择不放，F[i,v]=F[i−1,v]；若选择放，v−Ci 确保有足够的空间，随之 F[i,v]=F[i−1,v−Ci]+Wi。

代码展开

/**
*
* author 刘毅（Limer）
* date 2017-03-17
* mode C++
*/
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main()
{
const int N = 6; // 物品个数
const int V = 10; // 背包体积
// 第 i 个物品的体积（下标从 1 开始）
int C[N + 1] = { -1,5,6,5,1,19,7 };
// 第 i 个物品的价值
int W[N + 1] = { -1,2,3,1,4,6,5 };
   // 状态
int F[N + 1][V + 1] = { 0 };
// 对于第 i 个物品
for (int i = 1; i <= N; i++)
for (int v = 0; v <= V; v++)
{
F[i][v] = F[i - 1][v]; //第 i 个不放
  // 如果比它大，再放第 i 个
if (v - C[i] >= 0 && F[i][v] < F[i - 1][v - C[i]] + W[i])
F[i][v] = F[i - 1][v - C[i]] + W[i];
}
cout<< F[N][V] << endl;
return 0;
}

以上方法的时间和空间复杂度均为 O(VN)，其中时间复杂度应该已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到 O(V)。

先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i ← 1 to N，每次算出来二维数组 F[i,v] 的所有值。

那么，如果只用一个数组 F[v] 能不能保证第 i 次循环结束后 F[v] 中表示的就是我们定义的状态 F[i,v] 呢？

F[i,v] 是由 F[i−1,v] 和 F[i−1,v−Ci] 两个子问题递推而来，能否保证在推 F[i,v] 时（也即在第 i 次主循环中推 F[v] 时）能够取用 F[i−1,v] 和 F[i−1,v−Ci] 的值呢？

事实上，这要求在每次主循环中我们以v ← V to C[i]的递减顺序计算 F[v]，这样才能保证计算 F[v] 时 F[v−Ci] 保存的是状态 F[i−1,v−Ci] 的值。

优化后的代码如下：

/**
*
* author 刘毅（Limer）
* date 2017-03-17
* mode C++
*/
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main()
{
const int N = 6; // 物品个数
const int V = 10; // 背包体积
// 第 i 个物品的体积（下标从 1 开始）
int C[N + 1] = { -1,5,6,5,1,19,7 };
  // 第 i 个物品的价值
int W[N + 1] = { -1,2,3,1,4,6,5 };
int F[V + 1] = { 0 }; // 状态
for (int i = 1; i <= N; i++) // 对于第 i 个物品
for (int v = V; v >= C[i]; v--)
F[v] = max(F[v], F[v - C[i]] + W[i]);
cout << "最大价值是：" << F[V] << endl;
return 0;
}