在日常生活中，我们经常会遇到排序问题：

• 在打扑克牌的时候，原本拿到手上的牌是乱序的，我们会按照自己喜好的顺序一张一张排好手上的牌，最后看起来是顺眼的。比如小智打扑克牌会将自己手上的牌排成这样：

小智排了一下手上的牌，这次手上的牌还不错

• 摄影师给毕业的同学们拍照片，要求同学们站好队形，然后要求中间高，两边低的方式排队。如果摄影师发现某个同学的高度跟旁边的同学不协调，这个同学必须马上调整自己的位置，最后是一派整齐的景象：

摄影师：嗯，你们排得不错

• 经常泡图书馆的泡友，会发现有很多志愿者会帮忙整理图书位置。每一本书的书背上面都有一张标签，书架上的图书需要按照标签上的编号排好顺序，这样泡友才能快速找到想要的图书。

小智的书架，是不是还算整齐？

这些例子就是排序问题了。排序问题不仅在生活中常见，在IT届也常见。据说，某科技公司在做一个项目时遭遇大量排序问题，运算速度奇慢，项目经理非常头痛，为招收能制伏排序问题的人才，干脆总结成了一道题目（没想到这道题日后竟成为IT面试届的经典）。这道题就是：

如何在一亿个数当中找到最大的10000个数？

如果让小智手工去找这些数，用一辈子的时间可能还不够。当然我们要用计算机来算，我们不仅要考虑，计算机能够如何找到这10000个最大的数，更重要的是找到这10000个数的时间越短越好。

方法一：重复寻找法

我们可以先用最直观的方式来做这道题目，起个名字叫重复寻找法：

第1步：我们先在这一亿个数当中，寻找到最大的那个数字，把它记录下来。

第2步：从这一亿个数字中，剔除这个最大的数字。

第3步：重复执行第1步和第2步，直至记录下来10000个数字。记录下来的结果即为所求。

以挑苹果为例，重复寻找法就好比我们在苹果堆中挑苹果的时候，先在所有苹果里面挑出最好的一个，然后继续在剩余苹果里面再挑出最好的一个……如此类推。

怎么找到最好的苹果？那必须拿着某个苹果，对比一遍所有苹果，如果发现有更好的苹果，把好的苹果拿在手上，把次好的苹果放下，直至对比完所有的苹果后，手上拿着的就是最好的苹果。

重复寻找法，就好比在苹果堆中不断挑最大最好看的苹果到自己的篮子里

为了方便讨论起见，我们设 n = 1亿

我们知道，求n个数最大值的比较次数为 n，求最大值的过程需要执行 10000 次，因此，重复寻找法的总比较次数为：

10000 × n

中场解答：

为什么这里只关注总比较次数？实际上我们在做排序的时候，比较次数与数据规模有明显关系，而其他的计算比如赋值、代码解析时间这些与数据规模无关，排序的关键是看比较次数。

为什么求最大值的比较次数为n呢？我们可以假想这样的情景：先拿出n个数中第一个数，作为临时最大值。在遍历n个数的过程中，如果发现有新的数字大于临时最大值，则以该数字为临时最大值。遍历完成以后，临时最大值即真正的最大值，比较的次数只需n次。

虽然这个问题有答案了，但是心里貌似有一些遗憾，不知道大家感受到了没？

其实，遍历10000次，这个次数有点多，为什么不可以遍历1次就得到结果呢？

方法二：局部淘汰法

实际上是可以的，还有一个能够一步到位的方法，叫做局部淘汰法：

第1步：先创建一个数组，保存这1亿个数字中的前10000个数字，计算数组的最小数字。

第2步：遍历剩下的数字。如果遍历到某个数 A 大于数组的最小数字，那么则用 A 替换掉数组的最小数字。并重新计算数组的最小数字。

第3步：遍历完成后，数组内的数字即为所求。

以打麻将为例，一开始我们拿了n个牌，局部淘汰法类似我们在打麻将过程中，如果摸到一个比自己手上最坏的牌要好的牌，就打出自己手上最坏的牌……如此类推，使得胜利的概率不断增大。

局部淘汰法，可以类比打麻将的过程，不断更换手上的牌，使得胜利的概率越来越大

这样，遍历1次就能得到最后的结果了。总比较次数如何呢？

最好的情况是，如果这1亿个数字刚好已经是降序排列，那么前10000个数字就是结果，只需要进行1次最小值的计算（比较次数为 1 × 10000），9999万次最小值的比较（次数向上近似为 n）。

最坏的情况是，如果这1亿个数字刚好已经是升序排列，那么直到最后的10000个数字才是最终结果，因此需要进行9999万次最小值的计算（比较次数为 n × 10000），9999万次最小值的比较（次数向上近似为 n ）

因此，平均的情况是，要算5000万次最小值（比较次数为 1/2 × n × 10000），要算9999万次最小值比较（次数向上近似为 n ，因此总比较次数近似为 ：

1/2 × n × 10000 = 5000 × n

总比较次数下降了一半，这个优化有点用。

但是……大家有没有觉得这个方法还有优化空间？

方法三：最小堆维护法

这个问题嘛……事实上是有的。这个方法能够大幅度降低总比较次数，称之为最小堆维护法：

第1步：先利用前10000个数字，搭建一个元素个数为1万的最小堆。

有模友可能会问，什么叫做最小堆呢？小智在这里解释一下：

首先，什么是堆?

关于堆这个概念，我们生活中的理解是东西堆在一起，比如沙堆、泥堆、还有小智的一堆东西。

计时沙漏中的小沙堆

在计算机领域中，堆这个概念与生活中的有一点点类似，一般的堆也是上面窄下面宽的结构。堆结构，非常类似圆木堆放的结构，充满大自然的气息。

堆结构，可能源自圆木木堆的灵感

堆（heap）是一种基于树（tree）的特殊的数据结构。堆有两种形式，分别是最大堆（max heap）和最小堆（min heap）。在堆顶的节点则被称为根节点。

我们关心最小堆就可以了。最小堆中，如果节点 A 是节点 B 的父节点，节点 A 中的键值必定小于或者等于节点 B 中的键值。根节点是堆的最小值。

以搬砖为例，我们要建一个金字塔，比较稳定的结构是下面重上面轻。最下面的我们放100kg的砖，然后上面可以放轻一点的砖。最小堆的结构也是类似的，位置越往上的节点键值越小。每一个节点都有一个键值，即所对应的数字，好比每一块砖头都对应一个重量，砖头的重量可以作为砖头的键值。

座结构稳定的小金字塔截面结构

堆的形式有非常多，不过堆的最常见实现形式是二叉堆（binary heap），最小二叉堆一般也是被直接简称为最小堆，因此我们只需要理解二叉堆即可。我们可以画一个最小二叉堆的例子出来感受一下：

一个最小堆示例

对图中的最小堆分析，一共有三层圆圈，称之为节点，每一个上层的节点都连着下层的两个节点，而且上层节点的键值均比下层的两个节点的键值要小。这个就是最小堆的特征。

我们关注另外一个方面，图中8个元素的二叉堆里面，堆的高度是3。推而广之，对于一个有N个元素的二叉堆，其高度为 log₂ N。

这里还需要问大家一个问题：假设最小堆堆顶的键值改变，调整的时间是多少？

这个问题也就是问堆调整时间了。一般对于这种问题，我们都要算最坏情况。假设堆顶新键值大于堆里所有的数，那么堆顶这个元素需要调整到堆底，每一次调整都要下降一层，因此调整的次数为堆的高度，即 log₂ N。

建堆、堆调整以及堆排序的过程展示

解释得有点长，但是对于问题的理解是有帮助的哦。

我们来继续做题吧：

第2步：遍历剩下的数字，与最小堆的根元素键值进行对比。如果遍历到某个数确实大于根元素的键值，则替换根元素的键值，并进行堆调整。

第3步：遍历完成后，最小堆当中的所有元素对应的数值即为所求。

刚刚说明了堆调整时间，最坏情况下调整时间为 log₂ 10000。同时要进行9999万次最小值比较（次数向上近似为 n）。因此上述步骤的比较次数最多为：

n × log₂ 10000 < 14 × n

总比较次数进一步下降了 5000 ÷ 14 > 350 倍，这个优化确实漂亮。

这个答案小智觉得算是满意的了。

上面这个题目属于 Top K 类问题，这类问题的解法，很多时候都可以用堆这种数据结构进行解答，往往能得到一些不错的结果。