为什么不能除以零？

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数据与算法之美

如果你问苹果手机上的Siri，“零除以零等于多少”，它会显示：

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但是，英文版的Siri还会用语音说这一段话：

“假如你有0块饼干，要分给0个朋友，每个人能分到几块？你看，这个问题没有任何意义吧？甜饼怪会难过，因为没有饼干吃，而你也会难过，因为你一个朋友都没有。”

（中文版也会，但言辞就没那么伤人了……）

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抛开这个伤人的回答不论（有朋友谁特么会跟你聊天啊喂！），除以零确实是个困扰很多人的问题。

十除以二等于五，六除以三等于二，一除以零是多少？小学数学就会告诉你，答案是不能除。但是为什么？零也是个数字，它到底哪里特殊了？

小学篇

小学算术里，这个问题很简单。那时我们把除法定义成“把一个东西分成几份”，分成一二三四五六七份都很容易想象，但是你要怎么把10个饼干分给0个人呢？想象不出来嘛！所以不能除。

敏锐的同学可能会想到，要是0个饼干分给0个人的话，本来无一物，好像就没关系了。但既然无物也无人，每个人分得多少都是可能的呀，根本无法给出一个单一确定的数值。

这结论没错，但这都是凭直觉而得到的东西。你想象不出来，不一定意味着它没有。远古时代的数学是建立在直觉上的，买菜是够用了，但要进一步发展，就必须要有定义和证明——所以，我们上了中学。

初中篇

现在我们开始接触最最基本的代数学——也就是解方程。我们发现，除法和乘法互为逆运算，所以问

1 / 0 = ?

就等于是解方程

0 * x = 1

好了，按照定义，0乘以任何数都是0，不可能等于1，所以满足x的数字不存在，所以不能除。

同样，如果问

0 / 0 = ?

就等于是解方程

0 * x = 0

同理，任何数字都可以满足x，所以也不能除——无法确定一个单一的答案。

高中篇

等到接触了基本的形式逻辑，我们又会发现另一种证明方式：反证法。

一堆真的表述，不能推出一个假的表述，所以如果我们用“能够正常地除以零”加上别的一堆真表述，最后推出假的来，那只能说明“除以零”这件事情不成立了。

所以，已知

0 * 1 = 0

0 * 2 = 0

推出

0 * 1 = 0 * 2

两边同时除以零，得到

( 0 / 0 ) * 1 = ( 0 / 0 ) * 2

化简得到 1 = 2。这显然是错的啦。

那么，问题解决了吧！其实还没有。想想另一个问题：-1的平方根是多少？

你可能会说，-1不能开平方根，因为所有数的平方都是非负的。但是这说的是实数，我要是增加一个定义呢？定义i^2=-1，这就创造出了虚数，于是-1也能开平方根了。

那么，为何不能定义一个“新”的数，让 1 / 0 也等于它，并为这个数设立一套运算法则呢？这就得去大学里回答了。

大一篇

刚学微积分课程就会立刻接触到∞这个符号。咦，这不就是“无限”嘛。我们都学了极限的概念了，那么我令b趋向于0，然后把a/b的极限定义为无穷，不行吗？

这就立刻遇到一个问题，它的左极限和右极限不一样啊。b是从负的那头靠近0，还是正的那头？这一个是越来越负，一个是越来越正，碰不到一起去。这样的极限是没法定义的。

因此，微积分课程里会反复说，虽然用到了∞这个符号，但是这只是代表一个趋势，绝对不是一个真正的数，不可参与运算。

大二篇

那么吸取教训，我不用现成符号了，我直接定义 1 / 0 = w，w是个“无限大”的数，不碰什么极限，你总没话说了吧！

然而，定义不是说来就来的，你虽然可以随便定义东西，但定义完了如果和现有的其他系统矛盾，那就不能用，或者很不好用。

而我们面对w立刻就遇到了问题。首先，w要怎么放入基本的加减乘除体系里？1 + w等于多少？w - w等于多少？如果你造了一个数，却连加减乘除都不能做，那就不是很有用对吧。

比如直觉上，1 + w 应该等于 w，它都无限了嘛！而 w - w 则等于0，自己减自己嘛！

但这样立刻会和加法里极其重要的“结合律”产生矛盾： 1 + ( w - w ) = 1 + 0 = 1，可是( 1 + w ) - w = w - w = 0。结合律是加法里非常基本的东西，为了一个w，连结合律都不要了，这成本有点大——不光是结合律本身，多少数学定理证明过程中不自觉都用了它，扔了它就都得重来，建立新体系。新体系不是不能建，但是费心费力又（暂时）无卵用，所以大家还是在老实用旧的——而旧的里面，为了保住结合律，就不能这么玩。

欢迎读者们发挥自己的想象力，尝试为 w 给出运算方式。但是你会发现，无论怎么规定w和别的数字之间的关系，只要你还坚持 1 / 0 = w，你就没法让它和你从小学习的基本数学不矛盾。还是那句话，你可以另立门户，在w的基础上建立起你的新数学，但它和大部分传统数学是不相容的，而且肯定会非常不好用，所以我们用了一个不能除以零的体系是非常合理的。

大三篇

你可能会提出反对：有那么多的定义方式，我都试过？要是没试过，我怎么知道不会某一天冒出来一个能够自洽的办法？

“新发现推翻旧结论”这种事情，在生物里可以有，化学里可以有，物理里可以有，唯独数学里没有。因为数学建立在逻辑上，个案有例外，逻辑没有例外。当然我们的数学还没有完成最终公理化，还要面对哥德尔的幽灵，但至少在这个例子里，如果w是一个真正的数，那它就违反了一些非常重要的公理，而这些公理的地位可是非常之深。解析直觉，推荐阅读《数学思考法》

比如有一组基本的公理叫“皮亚诺公理”，其中有一条说，每一个确定的自然数都有一个确定的后继，后继也是自然数；另一条说，自然数 b=c，当且仅当 b 的后继 =c 的后继。

那w是谁的后继呢——或者说，谁加上1能得到 w 呢？显然所有其他的数字都已经有了自己的后继，w 在其中没有位置，没有任何其他的数加上1能成为 w。那么就只能是1+w=w了，可那就直接和第二句话矛盾。而没有皮亚诺公理，整个自然数的体系都不能成立。

这里假定w是自然数。其他情况会略微复杂一些，但无论如何，类似的事情发生在w的各种定义里。如果你想把 w 当成一个数，那就没法和我们现有的实数兼容。所以我们在几乎所有场合下都只能宣布，不能除以 0。

大四以上篇

既然我们之前说了个“几乎”，那就是有例外的——在个别奇葩场合下，可以。

比如有一个东西叫做“复无穷”，它是扩充复平面上的一个点，真的是有定义的一个点。在这个特殊的规则下你可以写下 1 / 0 = ∞ 这样一个表达式。这么做的原因就说来话长了，但它不是平常意义上的运算——比如你不能把0拿回来，不能写 1 = 0 * ∞。

另外，“无穷”二字在一些别的场合下是可以当成一个“东西”去对待的。比如当你衡量一个集合的大小的时候，它可以是无穷大的。但这就有很多种不同的无穷大了——自然数是无穷多的，有理数是无穷多的，实数也是无穷多的，可是奇数和偶数和正整数和负整数和自然数和有理数都一样多，而实数却比它们都多！同样是无穷，有的无穷比别的无穷更无穷。但这就是另一个话题了，打住。学会像数学家一样思考，推荐阅读《数学思维导论》。