线性代数与矩阵论 习题 1.2.2

试利用辗转相除法，求有理系数多项式$u(x)$和$v(x)$,使得$u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x),g(x))$.

(1)$f(x)=3x^3-2x^2+x+2$,$g(x)=x^2-x+1$.

 

解:
\begin{align*}
3x^3-2x^2+x+2&=3x(x^2-x+1)+(x^2-2x+2)\\
x^2-x+1&=(x^2-2x+2)+(x-1)\\
x^2-2x+2&=x(x-1)-(x-2)\\
x-1&=x-2+1\\
\end{align*}
可见，$(f(x),g(x))=1$.由于
\begin{align*}
f(x)&=3xg(x)+(x^2-2x+2)\\
g(x)&=f(x)-3xg(x)+(x-1)\\
f(x)-3xg(x)&=x(g(x)-f(x)+3xg(x))-(x-2)\\
g(x)-f(x)+3xg(x)+f(x)-3xg(x)-x(g(x)-f(x)+3xg(x))&=1\\
\end{align*}
即$(1-x-3x^2)g(x)+xf(x)=1$

 

 

(2)$f(x)=x^4+2x^3-x^2-4x-2$,$g(x)=x^4+x^3-x^2-2x-2$.

解:
\begin{align*}
x^4+2x^3-x^2-4x-2&=(x^4+x^3-x^2-2x-2)+(x^3-2x)\\
x^4+x^3-x^2-2x-2&=x(x^3-2x)+(x^3+x^2-2x-2)\\
x^3-2x&=(x^3+x^2-2x-2)+(-x^2+2)\\
x^3+x^2-2x-2&=-x(-x^2+2)+(x^2-2)\\
-x^2+2&=-(x^2-2)\\
\end{align*}
可见，$(f(x),g(x))=x^2-2$.我们知道，
\begin{align*}
f(x)&=g(x)+x^3-2x\\
g(x)&=x[f(x)-g(x)]+(x^3+x^2-2x-2)\\
f(x)-g(x)=g(x)-x[f(x)-g(x)]+(-x^2+2)\\
g(x)-x[f(x)-g(x)]+x[f(x)-g(x)-g(x)+x[f(x)-g(x)]]=x^2-2\\
\end{align*}
即$(1-x-x^2)g(x)+x^2f(x)=x^2-2$.