excel统计分析——S-W正态性检验

参考资料:

[1]马兴华,张晋昕.数值变量正态性检验常用方法的对比[J].循证医学,2014,14(02):123-128.

统计推断——正态性检验(图形方法、偏度和峰度、统计(拟合优度)检验)_sm.distributions.ecdf-CSDN博客

【统计学】利用spss正态分布假定检验 S-W检验 K-S检验 直方图 Q-Q图

https://real-statistics.com/tests-normality-and-symmetry/statistical-tests-normality-symmetry/shapiro-wilk-test/

https://real-statistics.com/tests-normality-and-symmetry/statistical-tests-normality-symmetry/shapiro-wilk-expanded-test/

       S-W正态性检验法由Shapiro和Wilk1965年提出的,又称W检验。使用原始的S-W检验,在8≤n≤50时可以利用,小样本(n<8)对偏离正态分布的检验不太有效。不幸的是,针对大多数n统计量W的分布是未知的,必须通过模拟,造表或者近似方法获得。

       而J. P. Royston就是通过近似的方法改进了S-W方法,对样本量的要求为12≤n≤5000,甚至更多;但建议样本量不低于20;该方法被用在了很多软件中(如SAS和SPSS)。

原始版S-W检验,具体步骤如下:

1、将n个样本观测值按由小到大的次序排序。

2、计算S-W正态性检验统计量。

W=\frac{b^{2}}{SS}=\frac{(\sum_{i=1}^{m}a_{i}(x_{n+1-i}-x_{i}))^{2}}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}

其中,当n为偶数时,m=n/2;当n为奇数时,m=(n-1)/2。

3、根据给定的检验水平α和样本容量n计算统计量W的临界值W_{\alpha}

4、做出统计判断。若W<W_{\alpha},则认为样本数据所来自的总体不服从正态分布;若W>W_{\alpha},则认为服从正态分布。

上述中的a_{i}W_{\alpha}均为查表所得。

excel实现步骤如下:

注:已提前将需要查表的信息放到excel中,信息来源参考https://real-statistics.com/statistics-tables/shapiro-wilk-table/

Royston的改进版S-W方法:

1、将n个样本观测值按由小到大的次序排序。

2、利用excel统计分析——Q-Q图_excel 分位数图-CSDN博客中介绍的累计分布函数,取CDF=\frac{k-0.375}{n+0.25},获得n个数据对应累计概率值。

3、利用标准正态分布的概率密度函数的反函数,对得到的CDF进行计算,记作m_{i}(i=1...n)。

4、对m_{i}的平方求和,m=\sum_{i=1}^{n}m_{i}^{2}

5、系数a_{i},取u=1/\sqrt{n}

a_{n}=-2.706056u^{5}+4.434685u^{4}-2.071190u^{3}-0.147981u^{2}+0.221157u+m_{n}m^{-0.5}

a_{n-1}=-3.582633u^{5}+5.682633u^{4}-1.752461u^{3}-0.293762u^{2}+0.042981u+m_{n-1}m^{-0.5}

a_{i}=m_{i}/\sqrt{\epsilon } ,其中,2<i<n-1,\epsilon =\frac{m-2m_{n}^{2}-2m_{n-1}^{2}}{1-2a_{n}^{2}-2a_{n-1}^{2}}

a_{2}=-a_{n-1}

a_{1}=-a_{n}

系数a_{i}之间的关系为:\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}=1

6、计算统计量:

W=\frac{(\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i})^2}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^2}

根据W的公式可推算出,W是a与x之间的相关系数的平方,W的取值范围始终在0和1之间。

同样可以根据公式推算出:当n取值在12到5000之间时,ln(1-W)是近似服从正态分布的,其中μ和σ取值如下:

\mu =0.0038915(\mathrm{ln } n)^{3}-0.083751(\mathrm{ln } n)^{2}-0.31082\mathrm{ln } n-1.5861

\sigma =e^{0.0030302(\mathrm{ln }n)^{2}-0.082676\mathrm{ln }n-0.4803}

7、W统计量转换为z统计量:

z=\frac{\mathrm{ln}(1-W)-\mu}{\sigma}

如果z值对应的p值小于α,则认为不服从正态分布。

excel实现步骤如下:

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