0x00、平衡二叉树的定义
平衡二叉树(AVL树)是一种特殊的二叉搜索树，只是在二叉搜索树上增加了对"平衡"的需求。
假如一棵二叉搜索树，按照“1,2,3,4,5”的顺序插入数据，会发现二叉树甚至变成了一个线性的链表状结构，这样查找数据的时间复杂度就会达到O(n)，为了优化这一点，使二叉查找树时间复杂度保持O(log n)的级别，我们就需要调整树的插入方式，使之保持住树的结构。
这里引入一个定义：
平衡因子：二叉树的某个节点的左子树与右子树高度之差称为结点的平衡因子。
而平衡二叉树就是要保证平衡因子绝对值不能超过1。也就是左子树高度比右子树高度最多大1。
0x01、平衡二叉树的C语言实现
首先定义平衡二叉树，这和定义二叉搜索树有些不同，定义的结构体必须加上当前子树的高度。也就是这样：
struct node{
int data; //数据域
int height; //当前子树高度
node* lchild, *rchild; //左右孩子
};
这样定义的好处是方便上一节点计算平衡因子。
计算平衡因子之前我们先定义计算高度的函数，直接返回root->height即可。如果root为NULL，说明是叶子节点，返回0即可
int getHeight(node* root){
return root == NULL ? 0 : root->height;
}
接着我们计算平衡因子，即左子树比右子树高了多少：
int getBalanceFactor(node* root){
return getHeight(root->lchild) - getHeight(root->rchild);
}
当我们执行了插入操作，二叉树发生改变的时候，我们需要重新计算高度。
某节点的高度值等于左右子树高度值最大的，加上1。(这是高度值的定义)
更新高度值：
void updateHeight(node* root){
root->height = max(getHeight(root->lchild), getHeight(root->rchild)) + 1;
}
0x02、平衡二叉树的查找
AVL树的查找与一般二叉搜索树的查找方法一样。代码如下：
void search(node* root, int data){
if(!root) return; //查找失败
if(root->data == data)//找到了
printf("%d", root->data);
if(root->data > data) //大了，访问左节点
search(root->lchild, data);
else search(root->rchild, data);
}
0x03、平衡二叉树的插入操作
平衡二叉树的插入操作较为复杂，我们为了保持二叉树的平衡状态，就要在二叉树失衡的时候对二叉树进行旋转。
常见的旋转方式有LL型(单次右旋)、RR型(单次左旋)、LR型(先左旋，再右旋)、RL型(先右旋，再左旋)
下面我们进行详细介绍：
1、LL型(单次右旋)
假设一棵平衡二叉树再插入数据后，成了这个样子：
图中的 4 和 12 的高度分别是 3 和 1 ，高度差为 2 ，此时，二叉树不平衡了。对于这种由根节点的左子树的左子树造成平衡因子为2的失衡，我们要使用LL型旋转，即单次右旋，使其平衡。
正确的旋转方式是：使原二叉树的 根节点(K2) 的 左孩子(k1) 做为 新根节点，新根节点(k1) 原来的 右子树(Y) ，做为 原来的根节点(K2) 的左子树
如果记不住的话可以按照这个思路来记忆：
既然左边高度比右边高，就让左子树的根节点称为新根，这样高度就减小了1，我们把左子树K1"揪起来"，让原根节点k2"掉下去"，这样K1就多了一个孩子，而X小于K1，K2大于K1，Y大于K1且Y小于K2，这样把Y"拽下来"插到K2的左边，仍然符合二叉搜索树的规则，而且还处理好了K1的关系，多么完美！
转转后，K1和K2(新根与原来的根)的高度发生了变化，而XYZ(三个子树)没有发生变化，所以我们只需要更新K1和K2的高度值即可。
用C语言实现，就是：
void LLrotation(node* &root){
node* temp = root->lchild; //让temp=K1
root->lchild = temp->rchild; //让root的左节点变为Y
temp->rchild = root; //让新根K1的右节点指向K2
//以上，旋转完毕
updateHeight(temp); //更新新根的节点高度
updateHeight(root); //更新老根的节点高度
root = temp; //把树的根换成我们定义的新根
}
2、RR型(单次左旋)
假设一棵二叉树插入数据后的状态：
很显然，失衡了。平衡因子为-2。对于这种根节点的右子树的右子树造成平衡因子为-2的失衡，我们采用RR旋转，即单次左旋。
单次左旋的思路就是单次右旋倒过来想，我们先将原根节点的右节点K2当做新根，将K2的左子树当做原根K1的右子树。
同样的，只有K1和K2的高度发生了变化，所以我们只需要更新K1和K2的高度即可。
C语言实现：
void RRrotation(node* &root){
node* temp = root->rchild; //另temp=K2
root->rchild = temp->lchild; //旧根的右节点为新根的左节点
temp->lchild = root; //新根的右节点等于旧根
//以上，旋转完毕
updateHeight(temp); //更新节点高度
updateHeight(root);
root = temp; //重赋值
}
3、LR型(先单次左旋，后单次右旋)
一棵二叉树，插入数据后形成了这个鬼样子
4的高度为3； 而12的高度为1，平衡因子即高度差为2，这是由于根节点的左子树的右子树造成了平衡因子为2的失衡，通常采用LR型旋转，即先左旋，后右旋。
先左旋，也就是让K3的左孩子单次左旋，以K1为根节点，进行单次左旋，使得K2成为根节点，K1成为K2的左节点，K2原来的左节点B成为K1的右节点。这样就完成了单次左旋
接着对左旋后的二叉树，以K3为根节点，进行单次右旋，让K3的左节点K2成为新根，K2的右孩子C成为K3的左孩子，让K3做K2的右孩子。
这里K1、K2、K3的高度均发生了变化，ABCD的高度没有发生变化。
说起来很麻烦，其实实现起来很简单。因为我们有了前面LL旋转和RR旋转的基础，直接对子树操作即可。
C语言实现：
void LRrotation(node* &root){
RRrotation(root->lchild); //先对根节点的左孩子单次左旋
LLrotation(root);
}
4、RL型(先单次右旋，后单次左旋)
二叉树数据插入后：
此时的状态是：由于根节点的右节点的左子树造成了平衡因子为-2的失衡，我们通常采用RL型旋转，即先单次右旋，后单次左旋。
其实就是把LR倒过来啦，不做详细解释了。(敲键盘敲的手指好痛，呜呜呜~~~~(>_
C语言实现：
void RLrotation(node* &root){
LLrotation(root->rchild); //先对根节点的左孩子单次左旋
RRrotation(root);
}
写了这么多，总结一下吧。根据这个表格进行判断AVL树以何种旋转类型保持平衡：
树型
判定条件
调整方法
LL(单次右旋)
BF(root) = 2；BF(root->lchild) = 1
对root单次右旋
RR(单次左旋)
BF(root) =-2；BF(root->rchild) =-1
对root单次左旋
LR(先左后右)
BF(root) = 2；BF(root->lchild) =-1
对root->lchild进行左旋，再对root进行右旋
RL(先右后左)
BF(root) =-2；BF(root->rchild) = 1
对root->rchild进行右旋，再对root进行左旋
*BF代表平衡因子
0x04、二叉平衡树的插入
还记得二叉搜索树是怎样插入数据的吗？
void insert(node* &root, int data){
if(root == NULL){
root = new node;
root->data = data;
root->lchild = root->rchild = NULL;
}
if(root->data <= data)
insert(root->rchild, data);
else insert(root->lchild, data);
}
这段代码是不考虑平衡关系的插入代码。我们要做的是在这串代码上稍加修改，使之能及时通过旋转，保证平衡关系。
我们的思路是：沿用上面代码进行插入，插入后更新树的高度，接着判断平衡因子，根据平衡因子判断四种类型的旋转，最后执行旋转。
C语言实现：
void insert(node* &root, int data){
if(root == NULL){ //插入位置
root = new node;
root->data = data;
root->lchild = root->rchild = NULL;
root->height = 1; //由于插入的时候是叶子节点，所以初始高度为1
return;
}
if(root->data > data){ //节点数据大，往左插入
insert(root->lchild, data); //继续递归寻找插入位置
updataHeight(root); //因为插入了一个节点，所以树根的高度会发生变化
if(getBalanceFactor(root) == 2) //根节点平衡因子为2
if(getBalanceFactor(root->lchild) == 1) //根节点左孩子平衡因子为1，根据表格，采用LL型
LLrotation(root);
else if(getBalanceFactor(root->lchild) == -1) //根节点左孩子平衡因子为-1，LR型
LRrotation(root);
}
else{ //节点数据小，往右插入
insert(root->rchild, data);
updataHeight(root);
if(getBalanceFactor(root) == -2){
if(getBalanceFactor(root->rchild) == -1) //RR型
RRrotation(root)
else if(getBalanceFactor(root->rchild) == 1)//RL型
RLrotation(root);
}
}
}
这里往左插入后，只需要判断平衡因子是否为2，是因为如果树之前是平衡的，往左插入的时候，不可能造成平衡因子为-2，只有往右插入的时候才会是-2，所以判断平衡因子 是否为-2就多余了。
习题答案2012-12.doc)
插值和拟合：埃尔米特(Hermite)插值和样条插值...)
