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数是什么？毕达哥拉斯会告诉你，数是众神之母，万物之源

——节选自

《数学之旅·闪耀人类的54个数学家》

一般人看来，勾股定理只存在于特定的三角形或几何图形中。

但实际上，绝大多数人都小看了这条有2600年历史的公式，很多看似不可能的图形，只要涉及到了平方数，勾股定理就能插上一手！

什么？你不信？

今天，超模君就来讲一下勾股定理背后隐藏的大学问，不过在讲之前，超模君先带模友们重新认识一下“面积”这个词。

何谓面积？

当物体占据的空间是二维空间时，所占空间的大小就叫做该物体的面积。

举个简单的例子：正方形的面积 = 边长 X 边长

对此，相信模友们也能快速地列举出大量的图形面积公式，但你真的理解面积的性质吗？

实际上，除了我们熟知的图形面积公式，还有一种鲜为人知的面积计算方法——通过计算任意线段的平方来得到任意图形的面积。

先不要质疑，继续往下看。。。

举个例子：

正方形的面积为边长a的平方，平方项即边长a（边为5，那么面积就是25）；

圆的面积为πr²，平方项为半径r（半径是5，那么面积就是25π）；

接下来，超模君要做一个大胆的假设：如果把半径 r 当做边长a的“替代品”，那么圆的面积也可看成某条线段的平方，但由于线段选取和图形的不同，在此过程中会产生一个“面积系数π”。

也就是说，任意图形的面积公式将会变成这个样子：

面积＝系数×(线段)²

然后我们再来看看，正方形和圆形的面积是怎么算的：

如果用周长“p”作为线段，则面积为 p² /16，面积系数为1/16；

如果用对角线“d”作为线段，则面积为 d²/2，面积系数为1/2 。

也就是说，我们可以通过正方形上任意一条线段计算出正方形的面积。

因为在被选取的任意一条线段总可以通过一定的关系（比如说正方形的周长，正好是边长的四倍）与通常意义上计算面积的线段相联系起来。

而线段的选取方式之间，只是会产生不同的面积系数而已，最终的计算结果仍是一致的。

那是不是所有图形都能使用这个方法呢？

很遗憾地说，这一方法只适用于相似的图形：

• 所有的正方形都是相似的（面积都是s²）

• 所有的圆也都是相似的（面积都是πr²）

• 不是所有的三角形都是相似的：有些是锐角三角形，有些是钝角三角形——

  根据选取线段的不同，每一种类型都有着各自的面积系数。改变了三角形的形状，它的面积公式也要改变。

是的，所有的三角形都可以通过面积＝(1/2)·底·高来计算它的面积。

但是底与高的关系依赖于三角形的形状，所以它们的面积系数也会有差异。

那问题又来了，为什么我们需要相似性来保证它们可以使用相同的面积公式呢？

直觉告诉我们，我们等比例缩放一个图形时，绝对大小会改变，但是比例却不会发生改变。

比如说，一个正方形，无论它怎么缩放，都有周长＝4*边长。

因为面积系数的选择基于图形的比例，所以任何拥有相同比例的图形都可以通过同一公式来计算面积。

就和大家的臂展都近似等于身高是一个道理，不管他是NBA球员还是一个孩子，他们都可以使用相同的公式因为他们都是相关的。

所以，关于面积的“新看法”可以总结为以下三点：

• 面积可以从任何线段的平方中得到，而不只是从边长或半径中

• 每一个线段都有相应的“面积系数”

• 相似图形的面积系数是一样的，可以使用同一面积公式

毕达哥拉斯作为第一个弘扬“万物皆数”的人，估计当年提出勾股定理的时候，肯定有不少学徒心怀疑惑“为什么一定是 a²+ b²＝c²”，但又不敢挑战毕达哥拉斯的权威。

如今，勾股定理早已被数学家们证实，证明方法也是层出不穷、花样百出。

但超模君今天要带大家玩点有新意的：任意直角三角形都可以分解成两个相似的直角三角形。

很酷，是吧？通过一个点画一条垂线就可以把一个直角三角形分成两个小直角三角形。

大家也可以尝试着自己证明一下这个命题：利用相似性中的角-角-角来证明。

这个示意图把一些事解释的很清楚：

面积（大）＝面积（中）+面积（小）

小三角形是从大三角形中切出来的，所以面积就是把较小三角形的面积相加起来。

而更让人意外的是：因为这些三角形都相似，所以它们的面积公式也都相同。

让我们把最长的边称为c（5），较小的边称为b（4），而最小的边长则称为c（3）。

这种三角形的的面积公式就是：

面积＝F×斜边

这里的F是面积系数。

在这里是6/25或0.24；具体是那个数值并不重要。

现在让我们利用以下方程式做运算：

面积（大）＝面积（中）+面积（小）

F· c²＝ F· b² + F· a²

两边同除以F，便可以得到：

c²＝ b² + a²

万万没想到吧，这就是那个最著名的勾股定理！

所以我们可以初步得到以下两个结论：

• 一个三角形可以分成两个更小的相似三角形

• 因为面积是通过相加得到的，所以边长的平方(它决定了面积)也要相加。

我们再回过头来看上文提到的圆形：

当我们把它们相加时会发生什么呢？

你猜到了吗：半径为5的圆＝半径为4的圆+半径为3的圆。

相当神奇，是吧？

我们可以把勾股定理乘以面积系数（比如说这个例子中的π），然后就得出了任意一种图形的关系。

记住，线段可以是图形的任意部分。

我们可以选用圆的半径，直径，或者是圆周。

尽管有着不同的面积系数，但是3-4-5 的关系始终成立。

除此之外，这个定理甚至还能应用到一些你无法想象的领域，边长的“长度”可以是距离，能量，工作，时间，甚至是在社交网络中的人们...

1.社交网络

麦卡福定理（Metcalfe's Law）（如果你相信的话）说网络的价值与 n²（关系的数量）有关。

如下所示：

50M的网络＝ 40M的网络+ 30M的网络

令人惊讶的是，第二项网络与第三项网络共有 70M 的人，但是它们并不是简单的相加，反倒是与一个有五千万人的网络价值相当。

2.计算机科学

一些程序如果有n个输入，那么就要花费 n² 的时间（比如说冒泡排序法）。

耗费时间表示如下：

50个输入＝ 40个输入+ 30个输入

相当有意思，总共70个元素的两组输入跟一组50个元素输入所花费的时间相同。

是的，可能会有一些总开销或是启动开销有所不同，但在这里暂且不予以考虑

根据这个关系，把元素进行分成子组进行运算就有意义了。

事实上，一种较优的排序法——快速排序法中就用到了这一关系。

毕达哥拉斯定理帮助我们理解了对50个元素进行排序跟对30个以及40个两组不同的元素进行排序，所消耗的时间是一样。

3.表面积

球面的表面积是 4πr²。所以就有：

半径为50的球面积＝ 半径为40的球面积+ 半径为30的球面积

我们并不经常用到球面积，但是船身有着一样的关系。

船身就像是畸形化的球面，对吧？

假设船只的形状都相似，给50英尺的游艇喷漆所用的颜料正好可以给40英尺与30英尺的游艇喷漆。呕耶！

4.物理学

如果你还记得在物理课上学过的，一个质量为m，速度为v的物体的动能等于mv² /2。

因此有:

500迈的能量＝400迈的能量+ 300迈的能量

加速一个子弹到500迈的能量，可以把两个同样的子弹分别加速到400迈与300迈。

......

总而言之，勾股定理绝非表面那么浅显，这个定理还有许多有意思的地方等着我们去发掘呢~

绝大多数人在经历了十几年的学校生涯后，对许多公式定理都停留在了解题层面，上文提到的勾股定理就是一个很好的例子。

其实，往往也是那些看似简单的公式定理，最能推动这个世界的发展，而那些看起来枯燥无味的定义，背后往往也有一个鲜为人知的趣事。