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青少年数学之旅

两点之间直线最短，这家喻户晓的数学名言，就算是学渣也能倒背如流。

但学渣们不知道的是，这条直线并不是最快的。

为了让学渣们真正理解这句话，今天，超模君决定科普一波

起源

关于最速曲线问题，最早还得从意大利科学家伽利略说起。

1630年，伽利略提出一个分析学的基本问题：“一个质点在重力作用下,从一个给定点到不在它垂直下方的另一点,如果不计摩擦力,问沿着什么曲线滑下所需时间最短”。

然而，伽利略这一求解就花了8年时间。

1638年，伽利略提出了一个他认为100分的解答：圆弧。

首先，他以点A作水平线，点B作垂直于底面的线，两线交点为圆心，再以此作圆弧。经过计算，他发现经圆弧所花的时间竟然比直线AB要短。

不久，自信的伽利略便把这个解答撰写在著作《Two New Sciences》中，默默感叹自己又为人类数学作出了伟大的贡献。

而令他万万没想到的是，这个解法竟然成为了数学史反面教材。虽然证明了圆弧比直线要快，但是无法证明圆弧就是最快的。

正所谓，路遥知马力，日久见答案。1696年6月，瑞士数学家约翰·伯努利花了两个星期的时间，终于找到了真正的最速曲线。

有趣的是，他并没有选择马上公布答案。

为了证明自己比亲大哥雅各布伯努利牛掰，成为数学界里最强的男人，他选择在《教师学报》上就最速曲线问题向全欧洲的数学家提出点名挑战。并规定6个月后，无论数学家是否求出正解，他都将答案公之于众。

社会我约翰·伯努利，人狠话不多。要么不挑，一挑基本都是一些远古学霸：牛顿、雅各布·伯努利，奇恩豪斯，莱布尼兹，洛必达。

很快，在英国皇家造币局刚下班打完卡的牛顿就收到了约翰·伯努利的挑战信。而牛顿的牛脾气，在数学界也是出了名的，高高在上的他是不喜欢被别人点名挑战的，还扬言永远不会打开这封挑战信。

但是，正如中国近代伟大的哲学家王境泽所言：没有人能逃得过真香定律。那晚，不做数学题就浑身难受的牛顿终究还是没忍住，打开挑战信开始解题。

然而，令牛顿意想不到的是，这道题目的难度远超他的想象：他竟然要通宵到凌晨4点才解开。

随后，牛顿将他的解决方案匿名寄给《哲学汇刊》当时的学术期刊，并在上面表明自己的立场。

I do not love to be dunned [pestered] and teased by foreigners about mathematical things ......

翻译：我不喜欢在数学的事情上被外国人催索纠缠......

紧接着，约翰·伯努利就收到了回信。虽然是匿名的，但他一眼就知道这是牛顿解的。

（相信你已经看懂了）

尽管约翰·伯努利花的时间比牛顿要长，但这丝毫没有影响到他的心态，因为他觉得自己的解法才是最漂亮的。

凭什么这么自信？看了他的解法，你就知道。

约翰·伯努利巧妙地将物理和几何方法融合在一起，他认为用光学的思想来解决随速曲线问题才是关键。

事实上，早在1662年，费马就曾提出费马原理：一束光从A点传播到B点总是沿着尽可能快的路径。

正是这费马原理，让约翰·伯努利萌生出一个大胆想法：把小球滚动的最快轨迹，假设为光在不同折射率的介质中传播的路径。

利用极限思想，想象出无线多层无限薄的玻璃。这样下来，光速差不多是连续变化，也就能看到我们想要的完美路径：

根据著名的斯涅尔定律

入射角的正弦值与该介质中光速的比值等于折射角的正弦值与该介质中光速的比值

用公式表示就是：

图片来源于知乎

而且，我们都知道，当小球沿路径滑下时，它的重力势能是会转化为动能：

也就是说，小球的速度v与已下落高度的平方根y成正比关系。

因此，我们根据这个比例来构建模型（选择合适的介质，使光速满足此比例）：

然后，将模型与斯涅尔定律结合起来：

约翰·伯努利便得到了一个结论：曲线上的任意一点的切线与垂直方向的夹角正弦值，除以该点到曲线起点的垂直距离的平方根将会等于一个常数。

用公式表示就是：

这数学功底毕竟还是可以的，一看这个方程式，他马上就知道这是摆线（旋轮线）的微分方程。

根据历史记载，在挑战赛中，除了约翰·伯努利、牛顿之外，还有三个人的解决方案：雅各布·伯努利、莱布尼兹和德·洛皮塔尔。

尽管五人的解法各不相同，但他们的答案全都一样——最速曲线就是摆线。

应用

事实上，这条曲线，不仅牵起了数学史上一场腥风血雨，而且对后世有着很多实际性的应用。

比如说，过山车的建造。

那些造过山车的工程师总是要绞尽脑汁在有限的垂降距离里，尽快让游客产生极速体验，爽到无法进行表情管理。此时，他们会在设计中融入最速曲线的元素。

再比如说，竞技体育。

运动员在意的并不是两点间最短路径，而是通过两点的最短时间。为了成为最快的男人，他们无疑会选择沿着最速曲线的路径下滑。

因为起始近乎垂直加速，让物体获得了快速通过后半程水平位移的能力，平均速度最快。

不仅如此，最速曲线还有另外一个神奇的性质。废话不多说，直接上图！

位置越高的物体，将以更快的速度，和位置较低的物体一起通过最低点。(具体时长是π乘以圆弧的半径除以g的平方根)。

你会发现，放在曲线的任何位置上的物体，它们都将以相同的时间滑落到同一个位置。

利用这个性质，就诞生了一个充满数学味道的滑板溜碗赛场。

如果你在这种赛场和人较劲，那么你可以放心，无论他们踩着什么器材，大家在坡底的耗时都是一样的。

如果形状不如意，那么你最好别沿着坡度直接下去，滑出一道最速曲线的轨迹来。

无论是过山车、滑雪、冲浪，还是滑板遛碗，都充斥着最速曲线的身影，这也让超模君相信数学智慧在生活中，是无处不在的。

所以说，当你下次再看到山坡上寂寞翻滚的大石，请先逃离险境之后，到达安全地带再感谢17世纪的那些大学霸们！

否则你就要去见17世纪的那些大学霸们了！

转载来源：超级数学建模

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