角的概念是几何学中最基本的概念之一。当我们研究三角形的性质时，我们自然地建立了三角形的边和角之间的联系。这些联系是在三角学中系统地建立起来的。
角是什么？我们如何测量它？
虽然角度的概念在视觉上很直观，但它的数学定义却不那么直观。让我们尝试开发一种视觉方法来理解我们如何定义一个角度。
考虑下面的图
线条OA和OB之间的“延伸”就是我们所说的角度。即使我们选择OC和OD这两条线，它们之间的距离也是一样的。所以点对的选择是完全任意的。
接下来，我们将这个角度嵌入到上面所示的五边形中。我们很容易看出，有5个这样的角分别由5条边对着中心。所有的角都相等因为边长相等。我们应该记住，我们还不知道角是什么，但我们仍然可以通过逻辑思维来建立它的一些属性。
让我们将此角度称为θ(发音为“ Theta”)。现在，从上面的讨论中可以很容易地说，θ的大小应为围绕五边形的整个角度的大小的五分之一。
让我们以五边形为中心的完整角度的量度为Ω(发音为“Omega”)。因此，我们可以写成：
在我们继续之前，我们需要陈述一个非常基本的几何事实
完整角的测量与多边形的大小和边的数目无关。
很明显，一个更大的五边形(或任何其他多边形)围绕中心的完整角度是相同的。这意味着Ω某种几何常数。
如果我们取一个正六边形(6边)，那么θ将变成：
看起来好像一个角度的大小取决于它周围多边形的形状。这显然是不可接受的，因为一个角应该与五边形或六边形或其他任何东西无关。它们只是两线之间的“扩展”。所以我们想找到一个更好的方法来量化角度。
受以下事实启发：即使对于不同的形状，围绕中心的角度始终为Ω，我们可以尝试构造一个将Ω与常规正多边形连接的量。如果我们幸运的话，这可能会导致某种我们想要的普遍性。我们写一个n边多边形的周长公式
如果我们衡量任何多边形的周长P，中心的角度认为是Ω。如果我们测量这个多边形的边的单位长度，角度∠必须Ω/ P。我们称之为单位角。认为任何其他长度AB，角(θ)必须AB×单位角度。用P的表达式，我们可以写成
这个表达式看起来很复杂，但是我们要做一些简化。
我们问一个问题，如果n的值太大，会发生什么？首先，多边形有太多的边，这些边看起来就像一个圆。其次，1/n得值非常小。为了让表达式更清楚一点，我们用m代替1/n，我们知道如果n变得太大，m也会变得太小。用m表示，最后一个表达式变成
现在，我们需要知道当m很小的时候分母上的这一项会怎样。要理解这一点，考虑一个三角形ΔABC -
根据定义，我们知道：
从C点到B点会发生什么？BC的长度变小了，∠A也变小了。如果∠A趋近于零，那么∠BC的长度也趋近于零。我们重新整理一下上面的方程，得到
如果我们说BC趋于0，那么我们有
公元前我们已经确定，如果为零，那么α也变成了零。我们可以这样写
让我们从上面θ-复制表达式
在我们的情况下，m几乎变为零。现在，任何乘以m的数字也将变为零，因此mΩ/ 2是一个很小的数字。通过遵循上面讨论的论点，当m → 0时，它应该意味着sinm(mΩ/ 2) →0。尽管这是相当简单的简化，但这是一场灾难！这意味着我们将数量除以零，这在数学上是非法的。这是否意味着我们出错了？并没有。
让我们确定这一明显悖论的根源。分母中有一个数量，在某些情况下该数量等于零。消除此问题的唯一方法是用分子中的某项取消该项，以便当m变为零时，分母中没有剩余项会造成任何损害。现在，发生这种情况的唯一方法是，如果我们遇到以下情况-
数字k是一个常数，其突然出现可能会引起混淆。k的数学上严格的解释超出了本文的范围。此时，我们只能说在方程的右侧，我们必须使因子m乘以某个未知对象。原则上，这个对象可以是任何对象，但是为了简化分析，我们假设它是一个数字。我们将在下一节中担心此数字，但是最重要的是m将用分子取消，并且除以零的问题得以解决！
这可能看起来像作弊，但这是一种合法的数学技巧。此外，这是摆脱零分问题的唯一明智方式。事实上，这本身是一个非常基本的关系，在数学的另一个分支——微积分中有着巨大的意义。
替换后，θ的表达式变为
正如我们所看到的，分母中的0消失了！
我们已经知道当m→0时，我们处理的是一个圆而不是一个多边形(见下图)。我们可以确定OA圆的半径和AB的圆弧一定长度取决于θ。
但是我们怎么找到k的值呢？
为了回答这个问题，我们将使用书中最古老的技巧——物理测量。让我们看看下面的图表：
这里我们以θ为完整的角度在圆的一半。所以它的措施是Ω/ 2。如果我们用角的定义，我们会得到：
两边Ω被取消了，我们只剩下一个简单的方程k -
如果我们可以用物理方法测量给定半径下的半圆弧的长度，我们就可以把这些值代入这个公式中，得到k的数值。结果表明，对于任意大小的圆，k的值近似为3.143。在数学文献，这个值是表示为π。因此，我们可以在角的定义中使用k的值来得到
到目前为止，我们一直在避免谈论Ω的值，因为它是一个完全任意的选择。这类似于在公制与英制中测量棒的长度。杆的实际长度不会改变，但是相关的数字可能会改变。因此，我们可以完全自由地在特定系统中为Ω选择一个值。通过看最后一个公式，简单地选择Ω=2π 很有意义。这种选择使角度的定义非常简单
角度测量的选择Ω称为弧度。如果我们选择Ω= 360,我们称之为度。
总结
我们发现了一个明确的角度定义(以弧度为单位)，即角度=弧长/半径。如果我们以弧度为单位来测量角度，则会得到一个非常有用的结果：当θ→0时，sinθ→θ。
