在讨论「堆排序」之前，先复习一下「选择排序」。
void SelectionSort(int a[], size_t n) {for (size_t i = 0; i < n; ++i) {// 在剩余元素中找出最小的一个，然后与 a[i] 交换。size_t k = i;for (size_t j = i+1; j < n; ++j) {if (a[j] < a[k]) {k = j;}}if (k != i) {std::swap(a[i], a[k]);}}
}选择排序的空间效率很高（O(1)），但是时间效率很低（O(N^2)），主要花在了「从剩余元素中找出最小元素」，每次都要遍历剩余的全部元素。
有没有一种数据结构，能够方便的拿到 最小 元素？
如果重写 SelectionSort，改为反向遍历，每次「从剩余元素中找出最大元素」：
void SelectionSort(int a[], size_t n) {for (size_t i = n-1; i > 0; --i) {// 在剩余元素中找出最大的一个，然后与 a[i] 交换。size_t k = i;for (size_t j = 0; j < i; ++j) {if (a[j] > a[k]) {k = j;}}if (k != i) {std::swap(a[i], a[k]);}}
}那么问题就可以改成：有没有一种数据结构，能够方便的拿到 最大 元素？
堆，就是这样一种数据结构。
其实堆有「最大堆」和「最小堆」之分，但是差别不大，这里以最大堆为例，是为了便于实现堆排序，这也是改写 SelectionSort 的原因。
堆是一种在数组上实现的几乎完全的二叉树，子节点小于父节点，所以根节点总是最大。
记 H[1..n] 为堆，以 H[i] 表示数组中第 i 个元素，它的父节点位于 i/2，子节点分别位于 i*2 和 i*2+1。
这种通过数组下标的关系来连接父子节点的方式，比一般的树型节点省了两个指针的空间。
给定一个堆 [ 30, 26, 13, 17, 11, 7, 8, 10, 4, 3 ]，那么对应的树型结构为：
30/ \26 13/ \ / \17 11 7 8/ \ /10 4 3假如有一个数组 [ 4, 3, 7, 10, 11, 13, 8, 26, 17, 30 ]，怎么把它转换成堆呢？
4/ \3 7/ \ / \10 11 13 8/ \ /26 17 30从最小最靠近叶节点的子树开始，如果根节点比子节点小，就与之交换，依次按如下步骤进行调整。
第一步：
11* 30/ --> /30 11*第二步：
10* 26/ \ --> / \26 17 10* 17第三步：
7* 13/ \ --> / \13 8 7* 8第四步：
3*/ \26 30/ \ /10 17 11-->30/ \26 3*/ \ /10 17 11-->30/ \26 11/ \ /10 17 3*第五步：
4*/ \30 13/ \ / \26 11 7 8/ \ /10 17 3-->30/ \4* 13/ \ / \26 11 7 8/ \ /10 17 3-->30/ \26 13/ \ / \4* 11 7 8/ \ /10 17 3-->30/ \26 13/ \ / \17 11 7 8/ \ /10 4* 3经过这五步，堆就建好了。下面以 C++ 代码示范。
MakeHeap 把一个数组转换成堆：
void MakeHeap(A& a) {for (size_t i = a.size() / 2; i > 0; --i) {SiftDown(a, a.size(), i);}
}类型 A 就是 std::vector。当然用 C 数组也可以，只是后续讨论插入操作时会比较麻烦。
typedef std::vector<int> A;MakeHeap 通过 SiftDown 把每棵子树的根节点向下调整。
// SiftDown 把堆 h[1..n] 的第 i 个元素向下调整（i 从 1 打头）。
void SiftDown(A& h, size_t n, size_t i) {while (true) {i = i * 2;if (i > n) {break;}if (i < n && h[i] > h[i-1]) {++i;}if (h[i-1] > h[i/2-1]) {std::swap(h[i-1], h[i/2-1]);} else {break;}}
}MakeHeap 的用法：
int data[10] = { 4, 30, 8, 17, 26, 13, 7, 3, 10, 11 };
A a(data, data + 10);
MakeHeap(a);堆排序：
void HeapSort(A& a) {MakeHeap(a); // 首先把数组 a 转换成堆。// 反向遍历，每次把堆的根与第 i 个元素交换。// 每次交换后，用 SiftDown 把新的根向下调整。for (size_t i = a.size(); i > 1; --i) {std::swap(a[0], a[i-1]);SiftDown(a, i-1, 1);}
}堆排序与选择排序极为相似，空间效率一样，时间效率更优（O(N*logN)）。
与 SiftDown 相反的操作为 SiftUp。
// SiftUp 把堆 h[1..n] 的第 i 个元素向上调整（i 从 1 打头）。
void SiftUp(A& h, size_t i) {while (i > 1) {if (h[i-1] > h[i/2-1]) {std::swap(h[i-1], h[i/2-1]);}i = i / 2;}
}插入操作依赖于 SiftUp：先添加到数组末尾，然后通过 SiftUp 把新元素向上调整。
void Insert(A& h, int x) {h.push_back(x);SiftUp(h, h.size());
}删除操作依赖于 SiftDown：先把要删除的第 i 个元素与最后一个元素交换，然后收缩数组，再通过 SiftDown 把交换上来的元素向下调整。
void Delete(A& h, size_t i) {size_t n = h.size();if (n == 0 || i == 0 || i > n) {return;}if (i == n) {h.resize(n - 1);return;}std::swap(h[i - 1], h[n - 1]);h.resize(n - 1);SiftDown(h, n - 1, i);
}
