07-狄克斯特拉算法

数据结构和算法
基于《算法图解》—Aditya Bhargava 和《数据结构》—严蔚敏

第7章狄克斯特拉算法

上一章的广度优先搜索，找出的是段数最少的路径；
本章狄克斯特拉算法，找出的是最快的路径。

7.1 使用狄克斯特拉算法
步骤：
第一步：找出最便宜的节点
在这里插入图片描述

从起点出发，前往节点A需要6分钟，而前往节点B需要2分钟。置于前往其他节点，先假设为不穷大。

第二步：计算经节点B前往其各个邻居所需的时间。
在这里插入图片描述

经节点B可以找到前往节点A更短的路径，只需要5分钟。
在这里插入图片描述

对于节点B的邻居，如果找到前往它的更短路径，就更新其开销：

前往节点A的更短路径(从6分钟缩短到5分钟)。
前往终点的更短路径(从无穷大缩短到7分钟)。

第三步：重复

重复第一步：找出可能在最短时间内前往的节点。
已经对节点B执行了第二步，除节点B外，可在最短时间内前往的节点是节点A。

在这里插入图片描述

重复第二步：更新节点A的所有邻居节点开销。

在这里插入图片描述

可以发现前往终点的时间为6分钟。
在这里插入图片描述

7.1.1
使用广度优先搜索来查找两点之间的最短路径，指的是段数最少；
而在狄克斯特拉算法中，每段都分配了一个数字或权重，因此找出的是总权重最小的路径。
在这里插入图片描述

狄克斯特拉算法的4个步骤：

（1）找出最便宜的节点，即可在最短时间内前往的节点。
（2）对于该节点的邻居，检查是否有前往它们的更短路径，如果有，就更新其开销。
（3）重复这个过程，直到对图中的每个节点都这样做了。
（4）计算最终路径。

7.2 术语

狄克斯特拉算法用于每条边都有关联数字的图，这些数字称为权重(weight)。
带权重的图为加权图(weighted graph)，不带权重的图为非加权图(unweight graph)。
环：从一个节点出发，走一圈后又回到这个节点。绕环的路径不可能是最短路径。
无向图意味着两个节点彼此指向对方，其实就是环。在无向图中，每条边都是一个环。
狄克斯特拉算法只适用于有向无环图(directed acyclic graph，DAG)。

7.3 换钢琴例子
Rama想用自己的乐谱来换架钢琴，那么需要确定哪种路径将乐谱换成钢琴时需要支付的额外费用最少。
在这里插入图片描述

使用狄克斯特拉算法可得到：
在这里插入图片描述

7.4 负权边
如果有负权边，就不能使用狄克斯特拉算法。
因为狄克斯特拉算法是这样假设的：对于处理过的海报节点，没有前往该节点的更短路径。这种假设仅在没有负权边时才成立。
在包含负权边的图中，要找出最短路径，可使用贝尔曼-福德算法。

7.5 实现
以下图为例。
在这里插入图片描述

要编写解决这个问题的代码，需要三个散列表。
在这里插入图片描述
算法实现思路

#实现图GRAPH：将节点的邻居和前往邻居的开销存储到散列表中。
graph["start"] = {}
graph["start"]["a"] = 6
graph["start"]["b"] = 2graph["a"] = {}
graph["a"]["fin"] = 1 #fin指到终点graph["b"] = {}
graph["b"]["a"] = 3
graph["b"]["fin"] = 5graph["fin"] = {} #终点没有任何邻居#实现图COSTS：节点的开销指的是从节点出发前往该节点需要多长时间。
infinity = float("inf")
costs = {}
costs["a"] = 6
costs["b"] = 2
costs["fin"] = infinity#实现图PARENTS：存储父节点的散列表。
parents = {}
parents["a"] = "start"
parents["b"] = "start"
parents["fin"] = None
processed = [] #记录处理过的几点的数组，避免多次处理。

准备工作做好了，接下来实现算法。
图4.2

#首先定义函数find_lowest_cost_node找出开销最低的结点
def find_lowest_cost_node(costs):lowest_cost = float("inf")lowest_cost_node = Nonefor node in costs:  #遍历所有节点cost = costs[node]if cost < lowest_cost and node not in processed: #如多当前节点的开销更低且未处理过，lowest_cost = cost #就将其视为开销最低的节点lowest_cost_node nodereturn lowest_cost_node#实现狄克斯特拉算法
node = find_lowest_cost_node(costs) #在未处理的节点中找出开销最小的节点。
while node is not None: #这个while循环在所有节点都被处理过后结束cost = cost[node]neighbors = graph[node]for n in neighbors.key(s):  #遍历当前节点的所有邻居new_cost = cost + neighbors[n]if costs[n] > new_cost: #如果经当前节点前往该邻居更近costs[n] = new_cost #就更新该邻居的开销parents[n] = node   #同时将该邻居的父节点设置为当前节点processed.append(node)      #将当前节点标记为处理过node = find_lowest_cost_node(costs) #找出接下来要处理的节点，并循环