全局照明算法基础——从辐射亮度到渲染方程

　　全局照明（Global Illumination）问题上已经有很多著名的算法，如路径追踪（Path Tracing），辐照度（Radiosity）等。绝大部分书籍/教材都直接介绍了做法，在理论方面有所欠缺（比如算法的正确性）。这段时间在看《Advanced Global Illumination》，大呼爽快，所以做了这些笔记。

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一、方向和立体角

　　立体角（Solid Angle）是平面角的推广。如上图，考虑一块不规则的曲面，其在单位球体（球心在原点，半径）上的投影为曲面，则的面积为该曲面对应的立体角。根据定义易知，任何包含原点的球体对应的立体角都为。如果用球坐标来刻画立体角，那么其微分可以被表示为

此外，根据立体角的定义，可以给出任何曲面元对应立体角的计算公式——

其示意图如下：

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二、Radiance的定义

　　考虑密度函数，它给出在时空坐标处单位体积内沿方向、波长为的光子的数量。那么给定位置、时间、方向以及波长，容易知道单位时间内沿方向通过面元的、波长在间的光子的能量为

其中是这些光子的速度。在波长范围、全体立体角、曲面上对积分得

这就是曲面上的辐射通量（Flux）的定义。

　　类似地，定义辐射照度（Irradiance）为

辐射强度（Intensity）为

以及辐射亮度（Radiance）——

这几个量间有以下关系：

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三、Radiance的守恒性质

　　从的定义可知，Radiance是空间位置和方向的函数可以写作，表示从空间位置出发、朝向的Radiance。（类似地，表示空间位置处朝方向的Radiance）若与间没有遮挡，则有以下重要性质成立：

　　证明：

　　如上图，由Radiance的定义有

其中是从出发向发射的能量。根据能量守恒，它们必定都被接收，即

又由立体角的性质

代入得

整理即得。

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四、以Radiance来量度传感设备响应

　　摄像机、人眼等感光设备所得到的光的量度可以用Radiance来衡量，而非Flux等。由此可以得出一些结论，比如一个明亮的物体随着观察者距离的增加不会显得更暗，这是因为在光的传播过程中Radiance不随距离改变。 

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五、BRDF

　　一束光照射到某个表面上，反射的效果随着表面的材质有所不同。譬如，理想的镜子会把所有的入射光反射到某个特定的方向，而在其他方向上的反射光为0；理想的Lambertian表面会把入射光往所有的方向均匀地反射。反射光在不同方向上的多少分布，再结合入射光的方向所构成的函数，称为bidirectional reflectance distribution function（BRDF），记作，表示沿方向照射到处的光在方向上的分布。准确地说：

并非所有的物体表面的反射都能用BRDF来建模，譬如通透的玉石（入射光可以从某一处进入玉石内部，然后从另一处穿出）等。一个把透明物体的表面纳入考虑的函数叫做bidirectional scattering distribution function（BSDF），它描述了所有方向的入射光和出射光的分布；Bidirectional surface scattering reflectance distribution function（BSSRDF）则更加强大（使用起来也更为困难），它可以描述前面提到的通透的玉石对光的作用。在这里，为了简化问题，假设所有的物体表面都使用BRDF描述。

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六、BRDF的几个性质

　　由BRDF的性质可知，某不透明的、不发光的表面上某一点处朝的Radiance是此点反射外来光的结果，可表示为

其中是从方向来的光在方向上反射的结果。根据BRDF的定义有

于是，

该式在之后会介绍的渲染方程中扮演了重要的角色。

　　Reciprocity：规定任意BRDF满足，由此，不妨将BRDF记作。

　　能量守恒：单位面积的入射能量为

而单位面积反射的总能量为

于是由能量守恒：

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七、渲染方程（The Rendering Equation）

　　可以被分为两部分：处自身向方向发出的光和点反射外来光产生的光。即

其中是自发光项，是反射项。根据6中的推导，反射项可以被表示为

代入得

这就是所谓的渲染方程。可以看到该方程是递归的，且包含了一个不易计算的积分（只有在某些极简单的场景下才能求出解析解）。几乎所有的全局照明算法都是在求解渲染方程，因此称其为图形学的理论基石之一也不为过。