数值线性代数的Kaczmarz方法被Gordon,Bender,Herman引入至CT重建中,称为ART方法。
A x = b Ax=b Ax=b
A A A为 m × n m\times n m×n的稀疏矩阵。
A A A的元素 a i j a_{ij} aij表示像素 j j j对射线 i i i投影的贡献。
A A A的行向量 a i T a_i^T aiT表示一条射线。
一条射线的投影值为 a i T x = b i a_i^T x = b_i aiTx=bi
A T b = x A^T b = x ATb=x表示反投影
A = [ a 0 T , a 1 T , . . . ] T A = [a_0^T, a_1^T, ...]^T A=[a0T,a1T,...]T, a i T a_i^T aiT为 A A A的行向量
A T = [ a 0 , a 1 , . . . ] A^T = [a_0, a_1, ...] AT=[a0,a1,...], a i a_i ai为 A T A^T AT的列向量
A T = [ c 0 T , c 1 T , . . . ] T A^T = [c_0^T, c_1^T, ...]^T AT=[c0T,c1T,...]T, c i c_i ci为 A T A^T AT的行向量
任务:给定 A , b A, b A,b,求解 x x x,即给定系统与输出(投影),求解输入(图像)。
x k + 1 = x k + λ k c i T b i − < a i T , x k > ∣ a i T ∣ 2 x^{k+1} = x^k + \lambda_k c_i^T \frac{b_i - <a_i^T, x^k>}{|a_i^T|_2} xk+1=xk+λkciT∣aiT∣2bi−<aiT,xk>
松弛因子 0 < λ k ≤ 1 0 < \lambda_k \leq 1 0<λk≤1,减缓收敛速度
b i b_i bi表示真实采集到的投影值
< a i T , x k > <a_i^T, x^k> <aiT,xk>表示用当前的图像进行投影后,得到的伪投影值
ϵ = b i − < a i , x k > \epsilon = b_i - <a_i, x^k> ϵ=bi−<ai,xk>表示投影残差
c i T ϵ ∣ a i T ∣ 2 c_i^T \frac{\epsilon}{|a_i^T|_2} ciT∣aiT∣2ϵ表示对投影残差进行反投影,得到图像残差
经过不断迭代,图像残差收敛。