常微分方程（ODE） 的时候我们更多是关于时间的导数。偏微分方程（partial differential equation) 则不仅仅是与时间相关，加上了与空间位置相关的一些信息。

解

当 ODE 满足 利普希茨连续（Lipschitz continuity），我们就可以有唯一解。但是 PDE 我们可能并没有这样好的性质，我们不知道它是否应该有解，很多时候也许我们就是用有限元方法（finite element method）来模拟，如果看到的结果还不错的话，我们就当这个就是它的解，o(╯□╰)o

运算符

首先需要搞清楚： 梯度、散度、旋度、拉普拉斯 运算符:

关于 梯度、散度、旋度 以及 拉普拉斯可以理很久，如果需要复习，可以参见之前我写过的两篇：

• 梯度旋度散度
• 梯度、散度、旋度

在 物理 有关的偏微分方程中，如果函数是 f(t; x, y, z)， 当我们写到 nabla 运算符是

,是与 t 无关的。

纳维-斯托克斯方程 Navier-Stokes equations

Navier-Stokes equations 是大概做流体模拟的一个基础方程，是一个典型的 PDE 方程：

或者我们用 wikipedia 中的写法：

光看这个形式就很复杂了，是否可解这里光看式子就会想打上很多问号？？？所以克雷数学研究所的千禧年七大问题之一就是有关于 Navier-Stokes equations，

Prove or give a counter-example of the following statement:
In three space dimensions and time, given an initial velocity field, there exists a vector velocity and a scalar pressure field, which are both smooth and globally defined, that solve the Navier–Stokes equations.

价值 $1,000,000

其它的百万问题还包括：

• P vs NP
• 霍奇猜想
• 庞加莱猜想
• 黎曼猜想
• ...

麦克斯韦方程组 Maxwell's equations

最最出名的 PDE 应该是 - 麦克斯韦方程组：

拉普拉斯方程 Laplace's equation

拉普拉斯方程非常出名， 形式简单：

它是泊松方程的特殊形式。

拉普拉斯方程又被称为调和方程。因为调和函数（harmonic function）的定义也就是函数满足拉普拉斯方程。

之所以被定义为调和（harmonic）大概起因和 泛音(overtone)相关。

关于 调和函数 的另一种感性的理解就是如果我们把 拉普拉斯运算符 看成 类似二阶导一样的东西。

• 对于
  : 二阶导 决定了这个函数的 凹凸性, 或者说 二阶导 决定了这个点周围的函数值是比它大还还是比它小。二阶导 在这里变成了我们比较函数的与它邻居的大小。

• 对于
  : 如果把它看成类似二阶导，那么我们假设取一个点，然后看它周围的圆（球，反正是与这个点距离相等的函数上的点），它们的平均值是跟这个点是一样的。

比如上面的 harmonic function:

， 虽然难以想象，但是比如我们在之上任意取一个点，这个点周围的圆上面的函数值的平均是一样的，在平坦的部分还容易想到这个结论，在有起伏的地方比较难想象到。

平均值一样,某种意义上就代表稳定。

以下的两个说法来自知乎问题： 调和函数到底有什么意义？

物理上可以用来描述一个稳定的状态，比如定常的温度场，自由电场电势，引力势能等等。数学上，比如说调和函数直接对应到复变里面的全纯函数，微分几何里面调和函数对应的是极小曲面，黎曼几何里调和函数可以推广到调和形式，然后就可以有Hodge 分解……上面每一个都可以展开，而且我强烈感觉我没想全……简直太有意义了
调和函数的线性组合仍为调和函数，所以是一个函数空间。调和函数无限次可导。调和函数在定义域的紧子集的边界上达到最大最小值，这是一种类似单调的性质。加上其他的一些性质，导致调和函数容易处理也更可能满足某些规律。以上是数学工作者看重的某些意义，你或许会觉得这不叫意义，那么可以考虑在物理学上的意义：二阶偏导的和等于零，对应于加速度的和为零，即可以描述系统不受力的状态，即稳态。当不能刻画系统在每一时刻的状态，却能用调和函数描述系统稳态下的状态，调和函数就显得非常有意义了。

回头继续, 先扔一个问题的 setup：

也就是我们给定区域

， 它有边界

，边界上

有函数

，我们想要找到一个函数满足

，也就是在这个边界上相等。

那么

是在干什么呢？实际上这个函数有自己的名字 - 狄利克雷能量(Dirichlet's energy)：

这个 energy function 代表的是什么？

梯度代表的是 函数 的变化，类似于导数，这个一整个 梯度的 l2 norm的平方积分 - 导数变化求和，最小化 它 也就是最小化函数的变化。所以上面这个问题也就是在尝试：

• 在边界满足 f = g
• 最小化函数 f 在区域内的变化

也就是让函数尽量光滑，所以也就是 f 'as smooth as possible'.（ 记得之前还有过 'as rigid as possible')

可用变分解出，f 需要满足 拉普拉斯方程。

考虑任意h，需要有：

考虑

关于

求导：

上述推导对于任何 h 都成立，特殊的，我们取

， 然后利用分布积分，其实也就是 格林恒等式：

上面式子可以转化为：

这个式子恒等于0，所以也就是：

也就是我们需要求解的 PDE 为：

其实也就是 狄利克雷问题（Dirichlet problem）：

给定定义在

中一个区域的边界上一个函数 g，是否存在惟一连续函数 f 在内部两次连续可微，在边界上连续，使得 f 在内部调和并在边界上 f = g ？

其实这个也蛮像插值问题的，比如之前的插值， 给一些点，推断出函数的模样。维度升级了，给一个边界，想要知道函数在区域内的全貌。

调和分析 Harmonic analysis

这也是一类PDE问题，解特征方程。

边界条件 Boundary Value Problems

狄利克雷问题（Dirichlet problem）是给定边界，推断函数。类似的还包括：

• 狄利克雷边界条件 Dirichlet conditions:
• 诺伊曼边界条件 Neumann conditions:
• 混合 Robin boundary condition: 类似

二阶PDE

二阶PDE 的一般形式是：

我们也可以把上述方程写成：

我们可以根据上面的式子来分类：

• A 是 正定矩阵 或者 负定矩阵 （特征值全为正或者全为负） ： 椭圆型 elliptic
• A 是 半正定矩阵 或者 半负定矩阵 （特征值除了全正或者全负，可以加上0）： 抛物型 parabolic
• A只存在一个特征值和其他特征值符号不同 ： 双曲型 hyperbolic
• 不满足上述条件 ： 超双曲型 ultrahyperbolic

椭圆型 PDE

• 有解 & 唯一解
• 拉普拉斯/泊松方程

抛物型 PDE

• 短时间内的解是存在/唯一的
• 热方程：
• 边界条件 需要跟时间、空间相关

双曲型 PDE

• 波动方程:
• 边界条件: 一阶导

微分看成算子

微分很容易验证其为成线性算子。

先看一维简单的例子，之前在数值积分和微分中已经讨论过，比如我们可以用离散、差分等方式把

看成:

所以如果假设 f(x) 在 [0,1] 上有：

那么，这里就从微分到了差分，其实应该也 '≈' :

或者写成：

如果我们把

写成向量

， 把

写成向量

，上面的式子可以写成:

那么根据边界条件的不同，

可以为：

Dirichlet

Neumann

然后我们就像解线性系统一样来解这个系统了。

即使是 2D 的网格，我们也可以用类似的方法来离散：

感觉自己在有限元的边缘试探，o(╯□╰)o

参考：

- 大量参考wikipedia