度量空间的基本性质

收敛性

$\bf命题：$ 

连续性

$\bf命题：$ 

稠密性

$\bf命题：$设$E$为度量空间$X$中的点集，则$E$在$X$中稠密的充要条件是对任意的$x \in X$，存在点列$\left\{ {{x_n}} \right\} \subset E$，使得${x_n} \to x\left( {n \to \infty } \right)$

方法一

$\bf命题：$设$E$为度量空间$X$中的点集，则$E$在$X$中疏朗的充要条件是对$X$中的任一非空开球$V$，存在非空开球$U \subset V$，使得$U \cap E =\emptyset$

方法一

$\bf命题：$

完备性

$\bf(闭球套定理)$设$X$是完备的度量空间，${B_n} = \left\{ {x\left| {d\left( {x,{x_n}} \right) \le {\varepsilon _n}} \right.} \right\}$是$X$中的一列闭球\[{B_1} \supset {B_2} \supset  \cdots  \supset {B_n} \supset  \cdots \]

若球的半径${\varepsilon _n} \to 0$，则存在唯一的点$x \in \bigcap\limits_{n = 1}^\infty  {{B_n}} $

方法一

$\bf(Baire纲定理)$完备的度量空间必是第二纲的

方法一

$\bf(Banach不动点定理)$设$(X,d)$为完备的度量空间，$T$为压缩算子，则存在唯一的$x$，使得$Tx=x$

方法一

$\bf(Banach不动点定理)$

紧致性

$\bf命题：$