动态规划（冬令营课堂笔记）

简单问题

　　01背包

　　012背包

　　部分背包

　　机器分配

　　烽火传递

　　花店橱窗问题

简单问题

01背包

一个容量为m的背包，有n个物品，第i个物品的体积为wi，价值为ci。选择若干物品，使得体积总和不超过m的情况下价值总和最大。

n<=100，m<=10000。

搜索复杂度为2^n

void dfs(int x,int y,int z)//当前物品编号，当前容量，当前价值
{if(x==n+1){if(y<m)ans=max(ans,z);return;}dfs(x+1,y+w[x],z+c[i]);dfs(x+1,y,z);
}

如果前两维相同，只需选择第三维的最大值

小小的变形

const int INF=0x7f;
int dfs(int x,int y)
{int ans;if(x==n+1){if(y>m)return -INF;return 0;}ans=max(dfs(x+1,y+w[x])+c[x],dfs(x+1,y));return ans;
}
dfs(1,0);

加一个数组记录

const int INF=0x7f;
int dfs(int x,int y)
{if(x==n+1){if(y>m)return -INF;return 0;}dp[x][y]=max(dfs(x+1,y+w[x])+c[x],dfs(x+1,y));return dp[x][y];
}
dfs(1,0);

应用记录状态记忆化搜索 n*m

const int INF=0x7f;
int dfs(int x,int y)
{if(y>m)return -INF;if(x==n+1){return 0;}if(dp[x+1][y+w[x]])             //选该物品 dp[x][y]=max(dp[x+1][y+w[x]]+c[x],dp[x][y]);elsedp[x][y]=max(dfs(x+1,y+w[x])+c[x],dp[x][y]); if(dp[x+1][y])             //不选该物品 dp[x][y]=max(dp[x+1][y]+c[x],dp[x][y]);elsedp[x][y]=max(dfs(x+1,y))+c[x],dp[x][y]);     return dp[x][y];
}
dfs(1,0);

递归变递推

先写出搜索

最大/最小值存放到数组中

后面递归该状态时直接使用数组中的值来代替

O（dfs里的状态个数*转移的时间复杂度）

找边界

找递推方法（顺序还是逆序）

转移（推转移方程）

搜索->记忆化搜索->递归变递推

for(int i=n;i>=1;i--)for(int j=0;j<=m;j++)dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+w[i]]+c[i]);
ans=dp[1][0]

012背包

一个容量为m的背包，有n个物品，第i个物品的体积为wi，价值为ci，有2个。

选择若干物品，使得体积总和不超过m的情况下价值总和最大。

记忆化搜索

const int INF=0x7f;
int dfs(int x,int y,int z)
{if(x==n+1){if(y<m)ans=max(ans,z);return -INF;}if(dp[x+1][y])                    //一个都不选 dp[x][y]=max(dp[x][y],dp[x+1][y]);elsedp[x][y]=max(dp[x][y],dfs(x+1,y));if(dp[x+1][y+w[x]])                //选一个 dp[x][y]=max(dp[x][y],dp[x+1][y+w[x]])+c[x]);elsedp[x][y]=max(dp[x][y],dfs(x+1,y+w[x])+c[x]);if(dp[x+1][y+w[x]])                //选两个 dp[x][y]=max(dp[x][y],dp[x+1][y+2*w[x]])+2*c[x]);elsedp[x][y]=max(dp[x][y],dfs(x+1,y+2*w[x])+2*c[x]);return dp[x][y];
}
dfs(1,0);

部分背包

一个容量为m的背包，有n个物品，第i个物品的体积为wi，价值为ci，有ki个。

选择若干物品，使得体积总和不超过m的情况下价值总和最大。

记忆化搜索

int dfs(int x,int y)
{if (y>m) return -INF;if (x==n+1) return 0;for (int i=0; i<=k[x]; i++){if (dp[x+1][y+i*w[x]])dp[x][y]=max(dp[x][y],dp[x+1][y+i*w[x]]+c[x]);elsedp[x][y]=max(dp[x][y],dfs(x+1,y+i*w[x])+i*c[x]);}return dp[x][y];
}
dfs(1,0);

递推

for (i=n; i>=1; i--)for (j=0; j<=m; j++)for (l=0; l<=k[i]; l++)dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i+1][j+l*w[i]]+l*c[i]);
dp[1][0]

机器分配

有n家店，每家店都有m台机器，第i家店购买j台机器花费a[i][j]元(可能存在a[i][j]>a[i][j+1])，要购买总共m台机器，求最小花费。

搜索

//机器分配 
dfs(int x,int y,int z)
{if(y>m)return;if(x==n+1){if(y==n+1)ans=min(ans,z);return;}for(int i=0;i<=m;i++)dfs(x+1;y+i,z+a[x][i]);
}
dfs(1,0,0);

小小的变形

//机器分配 
int dfs(int x,int y)
{if(y>m)return -INF;if(x==n+1){if(y==m)return 0;//再也不需要买机器 return -INF;}for(int i=0;i<=m;i++)dp[x][y]=min(dp[x][y],dfs(x+1,y+i)+a[x][i]);return dp[x][y];
}
dfs(1,0);

记忆化搜索

//机器分配 
int dfs(int x,int y)
{if(y>m)return -INF;if(x==n+1){if(y==m)return 0;//再也不需要买机器 return -INF;}for(int i=0;i<=m;i++)if(dp[x+1][y+i])dp[x][y]=min(dp[x][y],dp[x+1][y+i]+a[x][i]);elsedp[x][y]=min(dp[x][y],dfs(x+1,y+i)+a[x][i]);return dp[x][y];
}
dfs(1,0);

递推

for(int i=n;i>=1;i--)for(int j=0;j<=m;j++){dp[i][j]=INF;for(k=0;k<=m-j;k++)dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i+1][j+k]+a[i][k]);}
ans=dp[1][0]

烽火传递

给定n个非负整数，选择其中若干数字，使得每连续k个数中至少有一个数被选出。

要求选择的数字之和尽可能小。

搜索

void dfs(int x,int y)
{if(x==n+1){ans=min(ans,y);return;}for(int i=x+1;i<=min(n+1,x+k);i++)dfs(i,y+a[i]);//i是下一个 
}
dfs(0,0);

记忆化

int dfs(int x)
{if(x==n+1)return 0;dp[x]=INF;for(int i=x+1;i<=min(n+1,x+k);i++)if(dp[i])dp[x]=min(dp[x],dp[i]+a[i]);elsedp[x]=min(dp[x],dfs(i)+a[i]);return dp[x];
}
dfs(0);

递推

/*dp[n+1]=0;
dp[1]  dp[2] dp[3] .. dp[1+k]*/for (i=n; i>=0; i--)
{dp[i]=INF;for (int j=i+1; j<=min(n+1,i+k); j++)dp[i]=min(dp[i],dp[j]+a[j]);
}
dp[0]

花店橱窗问题

给定一个n*m的矩阵A(n<=m)，求一个序列a1,a2,…,an满足1<=a1<a2<…<an<=m。使得A[1][a1]+A[2][a2]+…+A[n][an]最大。A可能有负数。

搜索

void dfs(int x,int y,int z)
{if(x==n+1){if(y==m+1)ans=max(ans,z);return;}for(int i=y+1;i<=m;i++)dfs(x+1,i,z+a[x+1][i]);
}
dfs(0,0,0);

记忆化搜索

int dfs(int x,int y)
{if(x==n+1){if(y==m+1)return 0;else return -INF;}for(int i=y+1;i<=m;i++){if(dp[x+1][i])dp[x][y]=max(dp[x][y],dp[x+1][i]+a[x+1][i]);elsedp[x][y]=max(dp[x][y],dfs(x+1,i)+a[x+1][i]);return dp[x][y];}
}
dfs(0,0);

递推

/*dp[n+1][m+1]=0; dp[n+1][0~m]=-INF;
dp[1][]  dp[2][] dp[3][]*/
for (i=n; i>=0;i--)for (j=0; j<=m+1; j++)for (k=j+1; k<=m+1; k++)dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i+1][k]+a[i+1][k]);
cout<<dp[0][0];