简单问题
01背包
012背包
部分背包
机器分配
烽火传递
花店橱窗问题
简单问题
01背包
一个容量为m的背包，有n个物品，第i个物品的体积为wi，价值为ci。选择若干物品，使得体积总和不超过m的情况下价值总和最大。
n<=100，m<=10000。
搜索 复杂度为2^n
void dfs(int x,int y,int z)//当前物品编号，当前容量，当前价值 {if(x==n+1){if(y<m)ans=max(ans,z);return;}dfs(x+1,y+w[x],z+c[i]);dfs(x+1,y,z); }
如果前两维相同，只需选择第三维的最大值
小小的变形
const int INF=0x7f; int dfs(int x,int y) {int ans;if(x==n+1){if(y>m)return -INF;return 0;}ans=max(dfs(x+1,y+w[x])+c[x],dfs(x+1,y));return ans; } dfs(1,0);
加一个数组记录
const int INF=0x7f; int dfs(int x,int y) {if(x==n+1){if(y>m)return -INF;return 0;}dp[x][y]=max(dfs(x+1,y+w[x])+c[x],dfs(x+1,y));return dp[x][y]; } dfs(1,0);
应用记录状态 记忆化搜索 n*m
const int INF=0x7f; int dfs(int x,int y) {if(y>m)return -INF;if(x==n+1){return 0;}if(dp[x+1][y+w[x]]) //选该物品 dp[x][y]=max(dp[x+1][y+w[x]]+c[x],dp[x][y]);elsedp[x][y]=max(dfs(x+1,y+w[x])+c[x],dp[x][y]); if(dp[x+1][y]) //不选该物品 dp[x][y]=max(dp[x+1][y]+c[x],dp[x][y]);elsedp[x][y]=max(dfs(x+1,y))+c[x],dp[x][y]); return dp[x][y]; } dfs(1,0);
递归变递推
先写出搜索
最大/最小值 存放到数组中
后面递归该状态时 直接使用数组中的值来代替
O（dfs里的状态个数*转移的时间复杂度）
找边界
找递推方法（顺序还是逆序）
转移（推转移方程）
搜索->记忆化搜索->递归变递推
for(int i=n;i>=1;i--)for(int j=0;j<=m;j++)dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+w[i]]+c[i]); ans=dp[1][0]
012背包
一个容量为m的背包，有n个物品，第i个物品的体积为wi，价值为ci，有2个。
选择若干物品，使得体积总和不超过m的情况下价值总和最大。
记忆化搜索
const int INF=0x7f; int dfs(int x,int y,int z) {if(x==n+1){if(y<m)ans=max(ans,z);return -INF;}if(dp[x+1][y]) //一个都不选 dp[x][y]=max(dp[x][y],dp[x+1][y]);elsedp[x][y]=max(dp[x][y],dfs(x+1,y));if(dp[x+1][y+w[x]]) //选一个 dp[x][y]=max(dp[x][y],dp[x+1][y+w[x]])+c[x]);elsedp[x][y]=max(dp[x][y],dfs(x+1,y+w[x])+c[x]);if(dp[x+1][y+w[x]]) //选两个 dp[x][y]=max(dp[x][y],dp[x+1][y+2*w[x]])+2*c[x]);elsedp[x][y]=max(dp[x][y],dfs(x+1,y+2*w[x])+2*c[x]);return dp[x][y]; } dfs(1,0);
部分背包
一个容量为m的背包，有n个物品，第i个物品的体积为wi，价值为ci，有ki个。
选择若干物品，使得体积总和不超过m的情况下价值总和最大。
记忆化搜索
int dfs(int x,int y) {if (y>m) return -INF;if (x==n+1) return 0;for (int i=0; i<=k[x]; i++){if (dp[x+1][y+i*w[x]])dp[x][y]=max(dp[x][y],dp[x+1][y+i*w[x]]+c[x]);elsedp[x][y]=max(dp[x][y],dfs(x+1,y+i*w[x])+i*c[x]);}return dp[x][y]; } dfs(1,0);
递推
for (i=n; i>=1; i--)for (j=0; j<=m; j++)for (l=0; l<=k[i]; l++)dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i+1][j+l*w[i]]+l*c[i]); dp[1][0]
机器分配
有n家店，每家店都有m台机器，第i家店购买j台机器花费a[i][j]元(可能存在a[i][j]>a[i][j+1])，要购买总共m台机器，求最小花费。
搜索
//机器分配 dfs(int x,int y,int z) {if(y>m)return;if(x==n+1){if(y==n+1)ans=min(ans,z);return;}for(int i=0;i<=m;i++)dfs(x+1;y+i,z+a[x][i]); } dfs(1,0,0);
小小的变形
//机器分配 int dfs(int x,int y) {if(y>m)return -INF;if(x==n+1){if(y==m)return 0;//再也不需要买机器 return -INF;}for(int i=0;i<=m;i++)dp[x][y]=min(dp[x][y],dfs(x+1,y+i)+a[x][i]);return dp[x][y]; } dfs(1,0);
记忆化搜索
//机器分配 int dfs(int x,int y) {if(y>m)return -INF;if(x==n+1){if(y==m)return 0;//再也不需要买机器 return -INF;}for(int i=0;i<=m;i++)if(dp[x+1][y+i])dp[x][y]=min(dp[x][y],dp[x+1][y+i]+a[x][i]);elsedp[x][y]=min(dp[x][y],dfs(x+1,y+i)+a[x][i]);return dp[x][y]; } dfs(1,0);
递推
for(int i=n;i>=1;i--)for(int j=0;j<=m;j++){dp[i][j]=INF;for(k=0;k<=m-j;k++)dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i+1][j+k]+a[i][k]);} ans=dp[1][0]
烽火传递
给定n个非负整数，选择其中若干数字，使得每连续k个数中至少有一个数被选出。
要求选择的数字之和尽可能小。
搜索
void dfs(int x,int y) {if(x==n+1){ans=min(ans,y);return;}for(int i=x+1;i<=min(n+1,x+k);i++)dfs(i,y+a[i]);//i是下一个 } dfs(0,0);
记忆化
int dfs(int x) {if(x==n+1)return 0;dp[x]=INF;for(int i=x+1;i<=min(n+1,x+k);i++)if(dp[i])dp[x]=min(dp[x],dp[i]+a[i]);elsedp[x]=min(dp[x],dfs(i)+a[i]);return dp[x]; } dfs(0);
递推
/*dp[n+1]=0; dp[1] dp[2] dp[3] .. dp[1+k]*/for (i=n; i>=0; i--) {dp[i]=INF;for (int j=i+1; j<=min(n+1,i+k); j++)dp[i]=min(dp[i],dp[j]+a[j]); } dp[0]
花店橱窗问题
给定一个n*m的矩阵A(n<=m)，求一个序列a1,a2,…,an满足1<=a1<a2<…<an<=m。使得A[1][a1]+A[2][a2]+…+A[n][an]最大。A可能有负数。
搜索
void dfs(int x,int y,int z) {if(x==n+1){if(y==m+1)ans=max(ans,z);return;}for(int i=y+1;i<=m;i++)dfs(x+1,i,z+a[x+1][i]); } dfs(0,0,0);
记忆化搜索
int dfs(int x,int y) {if(x==n+1){if(y==m+1)return 0;else return -INF;}for(int i=y+1;i<=m;i++){if(dp[x+1][i])dp[x][y]=max(dp[x][y],dp[x+1][i]+a[x+1][i]);elsedp[x][y]=max(dp[x][y],dfs(x+1,i)+a[x+1][i]);return dp[x][y];} } dfs(0,0);
递推
/*dp[n+1][m+1]=0; dp[n+1][0~m]=-INF; dp[1][] dp[2][] dp[3][]*/ for (i=n; i>=0;i--)for (j=0; j<=m+1; j++)for (k=j+1; k<=m+1; k++)dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i+1][k]+a[i+1][k]); cout<<dp[0][0];
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