递归算法C语言全解

第四章 递归算法 【例5】集合的划分 【问题描述】 设S是一个具有n个元素的集合，S＝｛a1，a2，……，an｝，现将S划分成k个满足下列条件的子集合S1，S2，……，Sk ，且满足： 则称S1，S2，……，Sk是集合S的一个划分。它相当于把S集合中的n个元素a1 ，a2，……，an 放入k个(0＜k≤n＜30＝无标号的盒子中，使得没有一个盒子为空。请你确定n个元素a1 ，a2 ，……，an 放入k个无标号盒子中去的划分数S(n，k)。 【输入样例】setsub.in 23 7 【输出样例】setsub.out 4382641999117305 【算法分析】 先举个例子，设S＝｛1，2，3，4｝，k＝3，不难得出S有6种不同的划分方案，即划分数S(4，3)=6，具体方案为： ｛1，2｝∪｛3｝∪｛4｝ ｛1，3｝∪｛2｝∪｛4｝ ｛1，4｝∪｛2｝∪｛3｝ ｛2，3｝∪｛1｝∪｛4｝ ｛2，4｝∪｛1｝∪｛3｝ ｛3，4｝∪｛1｝∪｛2｝ 考虑一般情况，对于任意的含有n个元素a1 ，a2，……，an的集合S，放入k个无标号的盒子中去，划分数为S(n，k)，我们很难凭直觉和经验计算划分数和枚举划分的所有方案，必须归纳出问题的本质。其实对于任一个元素an，则必然出现以下两种情况： 1、｛an｝是k个子集中的一个，于是我们只要把a1，a2，……，an-1 划分为k－1子集，便解决了本题，这种情况下的划分数共有S(n－1，k－1)个； 2、｛an｝不是k个子集中的一个，则an必与其它的元素构成一个子集。则问题相当于先把a1，a2，……，an-1 划分成k个子集，这种情况下划分数共有S(n－1，k)个；然后再把元素an加入到k个子集中的任一个中去，共有k种加入方式，这样对于an的每一种加入方式，都可以使集合划分为k个子集，因此根据乘法原理，划分数共有k * S(n－1，k)个。 综合上述两种情况，应用加法原理，得出n个元素的集合｛a1，a2，……，an｝划分为k个子集的划分数为以下递归公式：S(n，k)＝S(n－1，k－1) + k * S(n－1，k) (n>k，k>0)。 下面，我们来确定S(n，k)的边界条件,首先不能把n个元素不放进任何一个集合中去，即k=0时，S(n，k)＝0；也不可能在不允许空盒的情况下把n个元素放进多于n的k个集合中去，即k＞n时,S(n，k)＝0；再者，把n个元素放进一个集合或把n个元素放进n个集合，方案数显然都是1，即k=1或k=n时，S(n,k)=1。 因此，我们可以得出划分数S(n，k)的递归关系式为： S(n，k)＝S(n－1，k－1) + k * S(n－1，k) (n>k，k>0) S(n，k)＝0 (n 　using namespace std; 　 　int s(int n, int k) //数据还有可能越界，请用高精度计算 　{ 　 if ((n < k) || (k == 0)) return 0; //满足边界条件，退出 　 if ((k == 1) || (k == n)) return 1; 　 return s(n-1,k-1) + k * s(n-1,k); //调用下一层递归 　} 　 　int main() 　{ int n,k; 　 cin >> n >> k; 　 cout << s(n,k); 　 return 0; 　} 【例6】数的计数(Noip2001) 【问题描述】 我们要求找出具有下列性质数的个数(包括输入的自然数n)。先输入一个自然数n(n≤1000)，然后对此自然数按照如下方法进行处理： 不作任何处理； 在它的左边加上一个自然数，但该自然数不能超过原数的一半； 加上数后，继续按此规则进行处理，直到不能再加自然数为止。 输入：自然数n(n≤1000) 输出：满足条件的数 【输入样例】 6 满足条件的数为 6 (此部分不必输出) 16 26