Lucas定理

定义

对于任意质数p

$\Huge C_m^n\equiv C_{\biggl\lfloor\frac{m}{p}\biggr\rfloor}^{\biggl\lfloor\frac{n}{p}\biggr\rfloor}*C_{m\ mod\ p}^{n\ mod\ p}\ \ (MOD\ p)$

证明

对于任意质数p都有

$\huge C_p^i\equiv0\ MOD\ p(i\not= 0\&\&i\not=p)$

通过二项式定理,我们可得

$\huge (x+1)^p=\sum\limits_{i=0}^pC_p^ix^i$

因为$\huge C_p^i\equiv0\ MOD\ p(i\not= 0\&\&i\not=p)$

所以$\huge (x+1)^p\equiv x^p+1\ (MOD\ p)$

于是我们对于任意正整数m有

$\huge (x+1)^m=(x+1)^{\biggl\lfloor\frac{m}{p}\biggr\rfloor*p}*(x+1)^{m\ mod\ p}\equiv (x^p+1)^{\biggl\lfloor\frac{m}{p}\biggr\rfloor}*(x+1)^{m\ mod\ p}\ (MOD\ p)$

用二项式定理展开就是

 $\huge \sum\limits_{i=0}^mC_m^ix^i\equiv \sum\limits_{i=0}^{\biggl\lfloor\frac{m}{p}\biggr\rfloor}C_{\biggl\lfloor\frac{m}{p}\biggr\rfloor}^ix^{i*p}*\sum\limits_{i=0}^{m\ mod\ p}C_{m\ mod\ p}^ix^i\ (MOD\ p)$

当x指数为n的项就为,

$\huge C_m^nx^n\equiv C_{\biggl\lfloor\frac{m}{p}\biggr\rfloor}^{\biggl\lfloor\frac{n}{p}\biggr\rfloor}x^{\biggl\lfloor\frac{m}{p}\biggr\rfloor*p}*C_{m\ mod\ p}^{n\ mod\ p}x^{n\ mod\ p}\ (MOD\ p)$

两边约去x的n次方就为

$\huge C_m^n\equiv C_{\biggl\lfloor\frac{m}{p}\biggr\rfloor}^{\biggl\lfloor\frac{n}{p}\biggr\rfloor}*C_{m\ mod\ p}^{n\ mod\ p}\ \ (MOD\ p)$

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