NURBS曲线与曲面

B样条方法在表示与设计自由型曲线曲面形状时显示了强大的威力，然而
在表示与设计初等曲线曲面时时却遇到了麻烦。因为B样条曲线包括其特例的
Bezier曲线都不能精确表示出抛物线外的二次曲线，B样条曲面包括其特例的
Bezier曲面都不能精确表示出抛物面外的二次曲面，而只能给出近似表示。
提出NURBS方法，即非均匀有理B样条方法主要是为了找到与描述自由型曲线
曲面的B样条方法既相统一、又能精确表示二次曲线弧与二次曲面的数学方法。
NURBS方法的主要优点：

	（1）既为标准解析形状(即前面提到的初等曲线曲面)，又为自由型曲线
曲面的精确表示与设计提供了一个公共的数学形式。

	（2）修改控制顶点和权因子，为各种形状设计提供了充分的灵活性。

	（3）具有明显的几何解释和强有力的几何配套技术(包括节点插入、细
分、升阶等)。

	（4）对几何变换和投影变换具有不变性。

	（5）非有理B样条、有理与非有理Bezier方法是其特例。

	不过，目前应用NURBS中还有一些难以解决的问题：

	（1）比传统的曲线曲面定义方法需要更多的存储空间，如空间圆需7个参
数(圆心、半径、法矢)，而NURBS定义空间圆需38个参数。

	（2）权因子选择不当会引起畸变。

	（3）对搭接、重叠形状的处理很麻烦。

	（4）反求曲线曲面上点的参数值的算法，存在数值不稳定问题。

3.4.1 NURBS曲线的定义

	NURBS曲线是由分段有理B样条多项式基函数定义的：


	其中，Ri,k(t)（i=0,1,…,n）称为k阶有理基函数，Ni,k(t)是k 阶B样条
基函数，Pi（i=0,1,…,n）是特征多边形控制顶点位置矢量；w i是与Pi对应
的权因子，首末权因子w 0，w n>0，其余w i3 0，以防止分母为零及保留凸包
性质、曲线不因权因子而退化为一点；节点矢量为T＝[t0, t1, … , ti, …,
点tn+k]，节个数是m=n+k+1（n为控制项的点数，k为B样条基函数的阶数）。

	对于非周期NURBS曲线，常取两端节点的重复度为k，即

	有：，在大多数实际应用中，a =0,
b =1。P(t)在区间上是一个k-1次有理多项式，P(t)在整条曲线上
具有k-2阶连续性，对于三次B样条基函数，具有C2连续性。当n=k-1时，k阶
NURBS曲线变成k-1次有理Bezier曲线，k阶NURBS曲线的节点矢量中两端节点的
成节点重复度取k+1就使得曲线具有同次有理Bezier曲线的端点几何性质。

	Ri,k(t)具有k阶B样条基函数类似的性质：

	（1）局部支承性：Ri,k(t)=0，t? [ti, ti+k]；

	（2）权性：；

	（3）可微性：如果分母不为零，在节点区间内是无限次连续可微的，在
节点处 (k-1-r)次连续可导，r是该节点的重复度。

	（4）若w i=0，则Ri,k(t)=0；

	（5）若w i=+￥，则Ri,k(t)=1；

	（6）若w j=+￥，且j1 i，则Ri,k(t)=0；

	（7）若w j=1，j=0,1,…,n, 则是B样条基函数；若w
jj=1，=0,1,…,n，且则，Bi,k(t)是
Bernstein基函数。

	Ri,k(t)与Ni,k(t)具有类似的性质，导致NURBS曲线与B样条曲线也具有类
似的几何性质：

	（1）局部性质。k阶NURBS曲线上参数为的一点
至多与k个控制顶点Pi及权因子有关，与其它顶
点和权因子无关；另一方面，若移动k次NURBS曲线的一个控制顶点Pi或改变所
联系的权因子仅仅影响定义在区间上那部分曲线的形状

	（2）变差减小性质。

	（3）凸包性。定义在非零节点区间上曲线段
位于定义它的k+1个控制顶点的凸包内。整条NURBS曲线位于所
有定义各曲线段的控制顶点的凸包的并集内。所有权因子的非负性，保证了
凸包性质的成立。

	（4）在仿射与透射变换下的不变性。

	（5）在曲线定义域内有与有理基函数同样的可微性。

	（6）如果某个权因子为零，那么相应控制顶点对曲线没有影响。

	（7）若，则当时，。

	（8）非有理与有理Bezier曲线和非有理B样条曲线是NURBS曲线的特殊情
况。

3.4.2 齐次坐标表示

	为了便于讨论，我们考虑平面NURBS曲线的情况。图3.1.34所示，如果给
一组控制顶点及对应的权因子
则在齐次坐标系xyw中的控制顶点为。
齐次坐标下的k阶非有理B样条曲线可表示为：


	若以坐标原点为投影中心，则得到平面曲线：



	三维空间的NURBS曲线可以类似地定义。即对于给定的一组控制顶点
及对应的权因子，则有相应
带权控制点，定义了一条四维的
k阶非有理B样条曲线，然后，取它在第四坐标的超平面上的中心
投影，即得三维空间里定义的一条k阶NURBS曲线。这不仅包含了明确的
几何意义，也说明，非有理B样条的算法可以推广到NURBS曲线，只不过是在
齐次坐标下进行。

3.4.3 权因子的几何意义

	由于NURBS曲线权因子w i只影响参数区间定义在区间
上的那部分曲线的形状，因此，我们只考察整条曲线的这一部分。如果固定曲线的参数t，而使变化，则NURBS曲线方程变成以为参数的直线方程，即
NURBS曲线上t值相同的点都位于同一直线上，如图3.1.35所示。我们把曲线与
有理基函数的记号用用如下包含其权因子为变量的记号替代。因当时
，的，故该直线通过控制顶点，
分别是对应曲线上的点，即，
，。
令 a =Ri,k(t; w i=1 )，b = Ri,k(u)

	N，Bi可表示为：


	用a 、b 可得到下述比例关系：


	上式是(Pi，Bi，N，B)四点的交比，由此式可知：

	（1）若w i增大活减小，则b 也增大或减小，所以曲线被拉向或推离开
Pi点；

	（2）若w j增大或减小，曲线被推离或拉向Pj（j1 i）。


3.4.4 圆锥曲线的NURBS表示

	若取节点向量为，则NURBS曲线退化为二次Bezier曲线，
且

	可以证明，这是圆锥曲线弧方程，称为形状因子，的值
确定了圆锥曲线的类型。时，上式是抛物线弧，时，
上式是双曲线弧，时，上式是椭圆弧。且时，上式
退化为一对直线段和，时，上式退化为连接
两点的直线段，如图3.1.36所示。


3.4.5 NURBS曲线的修改

	NURBS曲线的修改有多种方式，常用的方法有修改权因子、控制点和反插
节点。

	1．修改权因子

	权因子的作用是：当保持控制顶点和其它权因子不变，减少或增加某权因
子时，曲线被推离或拉向相应顶点。假定已给k阶（k-1）次NURBS曲线上参数
为t的一点S，欲将曲线在该点拉向或推离控制顶点一个距离d，以得到新点
，可由重新确定相应的权因子使之改变为来达到，如图3.1.37所示。


	其中，表示和两点间的距离，d有正负之分，若在和之
间，即曲线被拉向顶点和，d为正，反之为负。

	修改过程是拾取曲线上一点，并确定该点的参数，再拾取
控制多边形的一个顶点，它是k+1个控制顶点中的一个，即
，便可算出两点间的距离d。若在直线段上拾取一个点
，就能确定替代老权因子的新权因子，修改后的曲线将通过点。

	2．修改控制顶点

	若给定曲线上参数为的一点S，方向矢量V和距离d，计算控制顶点的
新位置，以使曲线上S点沿V移动距离d到新位置。可表示为：

于是：
由此可得新控制顶点：

	3．反插节点

	给定控制多边形顶点与权因子及节点矢量
，就定义了一条k阶NURBS曲线。现欲在该多边形的
的边上选取一点，使得点成为一个新的控制顶点，这就是所谓反插节点。
点可按有理线性插值给出：

于是：
所以
	这就是使得成为一个新控制顶点而要插入的新节点。

	当插入新节点使成为新控制顶点的同时，将有k-2个老控
制顶点被包括在内的新控制顶点所替代，如图3.1.38所示。


3.4.6 非均匀有理B样条（NURBS）曲面

	1.NURBS曲面的定义

	由双参数变量分段有理多项式定义的NURBS曲面是：


	式中是矩形域上特征网格控制点列，是相应控制点的权因子，规定
四角点处用正权因子，即，其余。
和是p阶和q阶的B样条基函数，是双变量有理基函数：


	节点矢量和按de Boor递推
公式决定，通常具有下面的形式：
p个 q个 p个 q个

	2.NURBS曲面的性质

	有理双变量基函数与非有理B样条基函数相类似的性质：

	（1）局部支承性质：，当或
；

	（2）权性：；

	（3）可微性：在每个子矩形域内所有偏导数存在，在重复度为r的u节点
处沿u向是p-r-1次连续可微，在重复度为r的v节点处沿v向是q-r-1次连续可
微；

	（4）极值：若p，q>1，恒有一个极大值存在；

	（5）是双变量B样条基函数的推广。

	NURBS曲面与非有理B样条曲面也有相类似的几何性质，权因子的几何意义
及修改、控制顶点的修改等也与NURBS曲线类似，这里不在赘述。

	我们已经知道，计算机中表示形体，通常用线框、表面和实体三种模
型。线框模型和表面模型保存的三维形体信息都不完整，只有实体模型才能
够完整地、无歧义地表示三维形体。前面我们已经介绍了曲线曲面常用的的
表示形式及其理论基础，从本小节开始，我们介绍实体造型技术的有关问题，
主要包括形体在计算机内的表示、分类求交算法和典型的实体造型系统。