本节讲解XGBoost的原理~

1、回顾：

1.1 有监督学习中的相关概念

1.2 回归树概念

1.3 树的优点

2、怎么训练模型：

2.1 案例引入

2.2 XGBoost目标函数求解

3、XGBoost中正则项的显式表达

4、如何生长一棵新的树？

5、xgboost相比原始GBDT的优化：

6、代码参数：

1、回顾：

我们先回顾下有监督学习中的一些核心概念：

1.1 有监督学习中的相关概念

我们模型关注的就是如何在给定xi的情况下获得ŷi。在线性模型里面，我们认为

i是x的横坐标，j是x的列坐标，本质上linear/logistic regression中的yi^都等于这个，只不过在logistic regression里面，分了两步，第一步ŷi=∑j wj xij，此时ŷi含义是一个得分，第二步你把这得分再扔到Sigmoid函数里面，才会得到概率。所以预测分值的ŷi在不同的任务中会有不同的解释。对于线性回归(linear regression)来说，ŷi就是最终预测的结果。对于逻辑回归(logistic regression)来讲，把ŷi丢到Sigmoid函数里面去，是预测的概率。在其它的一些模型里面，ŷi还有其它的作用。而在线性模型里面的参数就是一组w，叫做θ。即

对于参数型模型，要优化的目标函数有两项组成，一项是Loss，一项是Regularization。表达公式即

常见的损失函数Loss如：平方误差损失函数(square loss),表示为：

交叉熵损失函数(Logistic loss),表示为

正则项Ωθ是用来衡量模型简单程度的，有L1正则，即

有L2正则即L2范数的平方，乘一个λ。即

λ是我们要调节的超参数，用来衡量Obj函数到底是更在乎简单程度，还是更在乎在训练集上的经验损失。所谓经验损失就是你在训练集上错了多少就叫经验损失。对于不同的loss和不同的Regularization这两项加合起来，让这两项的和最小，就达到了一个兼顾的目的，所以它们俩都要相对比较小，才是最好的模型效果。如果说为了达到使L(θ)让它下降一点点，而Ωθ上升好多，就代表着过拟合。模型复杂度上升了好多才带来了一点点提升，这种事情并不是我们想要的。我们希望一个简单的模型，能给我一个最好的答案；如果做不到这俩的话，也希望一个相对简单的模型给我一个相对比较好的结果就行了。加法在这里面达到了兼顾的目的。

对于不同的loss和不同的Regularization组合，再对它进行最优化，就构成了我们所谓的不同的算法。

比如对于mse损失函数组合一个L2正则就是岭回归，表达为：

对于mse损失函数组合一个L1正则就是lasso回归，表达为：

对于Logistic loss交叉熵损失函数组合一个L2正则就叫做逻辑回归，表达为：

所以逻辑回归的损失函数里必定会带这λw^2这项，没有这项就不能叫做逻辑回归。

1.2 回归树概念

在来回顾下回归树的相关概念，对于回归树(CART树Classification and Regression Trees)来讲，它的决策的分裂条件和决策树是一样的，也是多次尝试分裂，哪次结果最好就留下来。最后它会得到一个叶子节点，也能表达是一个连续的值，我们在此称之为score分数，对于回归树我们得到的是一组分数。比如下面例子：

我们要判断这个人是否喜欢电脑游戏，通过一个回归树来训练，年龄小于15的点被分到左边，是否是男的分到左边。所以小男孩最终落到了左边叶子节点，小女孩通过分裂落在了右边叶子节点，而另外三位落到了右边叶子节点。最终通过某种方法，先不用考虑是什么方法，它通过y平均得到了小男孩得分是+2，小女孩+0.1，而另外三位对于计算机游戏的喜好程度是-1，这是一个回归树的形式。

1.3 树的优点

树有这么一个优势，就是inputs对于输入数量的大小，不太在意。做分类，原来最强的霸主是SVM，但它有一个问题就时间复杂度是O(n3)。所以它在小数据集上表现得非常好，代码也跑得起来，但一旦到海量数据集上，它就会变得不可接受。如果一千条数据用十分钟，10万条数据可能就以年来记了。三次方实在太可怕了，这是它最慢的情况，当然它内部也做了一些优化，不是所有情况都会达到O(n3)。但是树的训练基本就是O(n)或者O(n*m)，它需要遍历所有的维度，它比O(n3)要scaling了好多，scaling在机器学习领域特指的是小数据量上表现的好不好，在小数据量上能跑的，在大数据量上还跑得起来的这个方面的性能。这是一个非常重要的特性。树模型最不怕的就是这个东西，它表现的时间复杂度比较稳定。另外它对于数据集的是否归一化，不需要太过在意，参数型模型里y是通过x计算出来的，它们之间有一个等式关系，而对于树一系列的模型来讲，x和y实际上是被割裂开的。x值只用来分裂，跟y值最后的结果没有直接的计算关系，它有间接的关系。y的计算结果是通过落在叶子节点上的其它的y算出来的，而不是通过x算出来。

这里先给大家铺垫下，在xgboost中，第一，它虽然用的是CART树，但它叶子节点的表达，不再像以前使用y平均了，但是它仍然是一颗回归树，不再是计算纯度的分类树。第二，它判断分裂条件的标准也不再是方差了，而是看损失函数下降的高低。所以它虽然形式上是一颗回归树，但无论分裂条件的判断，还有叶子节点的表达，跟我们之前讲的回归树不一样了。

2、怎么训练模型：

实际上永远咱们讲模型是这个套路，先模型假使已经从天上掉下来了，你要怎么用它也就是预测部分，理解了怎么预测之后，咱们再讲它是怎么得到这模型的，怎么训练出来的。

2.1 案例引入

那么我们该如何学到一堆树？首先要定义一个损失函数或者目标函数，包括损失项和正则项，然后去优化它。

先看个例子：我想要预测到底在t时刻有多么的喜欢浪漫的音乐，以下图两个时间节点来学到了这么一棵树(实际上我们知道做回归树就是在上面画锯齿)，当所有小于左边图中时间节点的时候，用这几个点的平均值代表叶子节点的预测；当大于右边节点的时候，用这些点的平均值代表叶子节点的预测。中间也是一样。假设左边这个点是我遇到女朋友的时候，接下来你会越来越喜欢romantic music一直到后边，对于浪漫音乐喜好程度又开始下降了。

对于这个模型来说分了两支，因为决策树就怕过拟合，它如果没做预剪枝的话，会一直细分下去。

这是一个实际的例子，通过这个例子，我们可以得到对于普通的一棵树来说，我们要学习的是：第一，splitting positions，意思是分裂的位置，也就是分裂条件应该设在哪，第二我们要学得每一段的高度，也就是指这个区间内叶子节点表达应该等于多少，因为它是取叶子结点的平均值作为结果。

基于这两个因素，我们怎么定义这个树是复杂还是不复杂呢？首先有多少个分裂点可以看出它复杂还是不复杂，如果它切的更碎，正则项也就更多更复杂；另外一个类似L2正则的方式，就是每一段的高度的L2正则，也可以像逻辑回归，线性回归一样，一定程度上衡量叶子节点有多么的复杂。所以它提出了两种思想，第一个是分裂的次数可以衡量这个树复杂不复杂，第二分裂之后每个树给你一个score结果，这个结果做一个平方再加和的总体值，也可以一定程度上衡量这个树到底复杂不复杂。

比如对于如下的树我们用以上的定义复杂的因素来评判下：

分裂几种情况，第一种情况：

对于这么一个要分类的结果，显然它会造成Loss小，因为它非常好的拟合了训练集；如果简用分裂次数和段高低的平方加和来讲，正则项会很大。

第二种情况：

它在不对的splitting point上分割了，导致L大了，而Ω项还可以，因为它只做了一次分裂。

第三种情况：

就是一个非常好的平衡，只做了一次分裂，并且损失项还比较小，所以我们的目标就是在训练树上也应该去衡量一下树的复杂程度，能让它做到即训练损失小一些，并且正则项也要小一些。

2.2 XGBoost目标函数求解

对于集成学习，我们知道是把多棵树的结果给累加起来。假设我们有K棵树，最终的ŷ就是K棵树的预测结果的相加。表达为：

这里面的F是我们所有的回归树，就之前的线性模型来讲，它的参数是一组w，而在这个里面，它的参数是就一堆树。所以原来参数型模型我们要学的目标是一组权重w，是我们要的结果，而树的集成学习模型，我们要学到的是一堆树，这是要从训练集中学到的。基于此，我们建立一个目标函数的形式即：

其中第一项是损失函数，损失函数既然每颗小树里面没有w，我们也就不费事地把它翻译成w的语言了，直接把ŷ拿来用，一定是有了yi，y^这两项就能算损失函数的，这是损失部分，跟GBDT里面的损失是一个概念。而另一项Ω是新引入的。这个公式里面从1到K，从一到n分别代表什么含义？ n是样本的数量，K是树的数量。你有n条样本，统计损失的时候，n条样本都要考虑进去，而有K棵树在统计复杂度的时候，要以树为单位去统计。

如何去定义Ω这个东西？它提出了几种思路：

第一每棵树叶子节点数量，可以描述这个树的复杂程度。

第二每棵树叶子节点上的评分score的L2范数也可以评估这棵树是否复杂。

第三把这上面两项结合在一起，做了一个正则项。

现在既想要一个有一定的预测效果，而相对简单的模型，要怎么做呢？我们给集成学习将Ft(x)写成如下的形式：

这里的yi^代表之前写的大F(x),y^0就是F0(x),y^1就是F1(x),一直到Ft(x)。通过boosting这种加法模式，最终的ŷ就等于之前所有小树的加和，也等于上一代的ŷ加上最新的一棵小树。此时Loss中的ŷ是什么的问题就解决了。

我们把它分解一下，既然

此时Obj函数就变成了

我们现在的目标就是找到一个f(t)，能够使这个函数变小。只要这个函数小了，预测结果一定差不了。这个函数带着求和号就代表着它已经考虑到所有样本的情况了。

如果我们的损失函数是mse的话，将上式中的l替换成具体的损失函数就是：

yi^2和yi^(t-1)^2这两项都可以放到后面的常数项里面去，它们不会影响ft(xi)这一项的变大或者变小，只有它的系数可以影响。所以整合完后就是如上所述的公式，其中ft(xi)是未知数。所以这就变成了一个简单的二次函数求最小值的问题。

ax^2+bx+c当x等于什么的时候有最小值？根据初中的理论，当x为-b/a2的时候，函数有最小值。此时在上述公式里面

a是1，b是

所以当ft(x)为yi-yi^(t-1)的时候，函数取最小值。这就是我们说的残差，所以残差你从这个角度也可以一样推出来，我们希望损失函数可以最小，就是当ft(x)为yi-yi^(t-1)的时候最小，这里面为什么我们要写成ft(xi)的形式，因为我们目标是要找到ft，所以一定要把它暴露出来，这样我们才知道ft要满足什么条件才可以。

mse函数是一个非常幸运的函数，它展开之后就是一个二次函数，你可以求出它最小值的解析解，对于逻辑回归函数甚至更复杂的函数你是没法写出解析解的，你就需要把目标函数展开成一个能写出解析解的东西来，再去求它的解析解，此时就用到我们的二阶泰勒展开。二阶泰勒展开的公式如下：

我们再看下我们的目标函数：

结合二阶泰勒展开的公式，这里把

看作△x，把

看作x。进行二阶泰勒展开，x已知。对f(x)求一阶导是：

上面的含义是对l求一次导，然后把y^(t-1)带进去。

对f(x)求二阶导是：

所以最后的二阶泰勒展开就是

在这个函数里面只有

是自变量，同样这也是一个二阶函数，所以当x=-b/2a的时候，损失函数取得最小值，也就是ft(xi)=f''(x)/f'(x)的时候。如果看到这不理解的话，我们考虑下一个特殊的函数--平方损失函数。对于平方损失函数来讲，一阶导是二倍的残差，二阶导是一个常数2，即：

把它带进去二阶泰勒展开的式子里，会得到跟之前直接把它展开同样的结果。因为它本身是个二次函数，对于二次函数进行二阶泰勒展开没有损失，实际上是用一个抛物线去拟合一个抛物线，所以不会有约等于号。但是对于复杂一点的函数，比如说交叉熵损失函数，它就有损失了，但是有损失它也不在乎了，我就保留它的这些近似项。

再来对这个公式进行简化，

而

这一项可以扔掉，因为它是常数项，yi是真实值，而y^(t-1)，是前面t-1轮预测已经得到的结果，所以这里面的关于它两个的损失函数可以计算出来。现在只有

未知，剩余的都是可以算出来的。我们把常数项放在一起，整理之后，新目标函数：

其中：

这里面简化之后虽然l丢掉了，但l实际上存活在gi和hi里，因为在计算gi和hi的时候，需要对l进行ft-1的求偏导，再把ft-1带进去，gi就是函数空间中梯度下降对应着如下结果：

gi和hi是什么东西？它已经是个能求得出来的真真切切的一个数。y^(t-1)是知道的，它是某一个数据点在上一轮预测出来的具体的结果值，对它求偏导的解析式也能知道，只要损失函数定义出来就知道了。求完偏导得到了一个新的函数，把具体的值代进去就得到了一个新的值。有多少条样本就有多少个gi和hi。

3、XGBoost中正则项的显式表达

我们目前把loss项已经整理好了，而Ω这一项还没显式地表示出来。我们最终想找到一个ft去让整个目标函数最小，gi和hi已经是具体的数了，而Ω这一项还没有定义。接下来我们来讨论下Ω的表达。

引入分配机的概念，它定义了ft(x)最终的预测结果就等于wq(x)。其中q(x)代表它落到了哪一个叶子节点上。假如说x第一条数据落到了第一个叶子节点上，这会的第一条数据就等于1。对于小男孩来说，它落到了一号节点上，q(小男孩)=1，也就是ft(小男孩)=wq(x)=w1，某一条数据最终会落在几号叶子节点上，q这条数据就等于几。也就是它定义了什么叫w，在这里面w1就是第一个叶子节点的表达，w2就是第二个叶子节点的表达，w3就是第三个叶子节点表达。

有了w的定义，我们定义Ω项，定义了损失项。损失项包含两部分，Ω是跟着每棵树来的，应该一棵树有一个Ω。也就是对于任何一个小树我扔到Ω里面，你就要给我评估出我树有多复杂。先看定义公式：

对于某一棵树的正则项来讲，它就等于叶子节点的数量乘以第一个超参数γ，这个是设置的。然后就是这棵树上的每一个叶子节点的表达的平方加和，再乘1/2λ。比如下面这个树它的Ω等于多少？

它有三个叶子节点，就是3乘以γ，w1等于+2，平方是4，w2平方等于0.01，w3平方等于1。所以最终的正则项是上述表达，也就是说对于这棵树的Ω，在确定了这两个超参数之后，也是一个可以具体计算的数。

我们再看下一种表达，假设

，它是一个样本的集合，所有被分到一号叶子节点里边的样本的集合就叫I1，所有分到二号叶子节点里边的集合就叫I2。然后ft(x)写成wq(x)，最后我们的损失函数就表示成：

解释下：从第一步到第二步应该没有问题就是把正则的具体表达带入进去，而第二步到第三步实际上就是我们换一种遍历的维度，原来是样本序号，从样本i=1遍历到n，现在改成遍历叶子节点j=1到T，从1号叶子节点里数，所有属于1号叶子节点的gi做一个加和，统一乘wj。比如有三个叶子节点，其中1，2号样本落在第一个，所以表达为w1。3，5落在第二个叶子结点，表达为w2。4，6落在第三个叶子结点，表达为w3。根据第二个公式的加法

就是g1w1+g2w1+g3w2+g4w3+g5w2+g6w3，而现在根据第三个公式表达的就是(g1+g2)w1+(g3+g5)w2+(g4+g6)w3，实际上这一项的转换就是把相同的w给提到一起去，也就相是同叶子节点里边的g都加和到一起。

另一项

按叶子节点遍历，就是

而结合最外面的正则项，刚好也是按叶子节点遍历，所以干脆合到一起，就变称第三个公式的表达。

原来是按样本遍历，但这样本里面肯定有很多点落在同一个叶子节点里了，也就是这些点，未来的wq(xi)都是相同的。我们就把它以叶子节点来遍历，把所有属于一号叶子节点的gi，虽然它们落在同一个叶子节点里了，但是它们的gi不一定相等，取决于这条样本在上一轮预测中它落在哪一个叶子节点。

通过显示的定义的Ω，我们就把目标函数整理成了如下形式：

这就是我们的目标函数。 现在这个目标函数只看wj的变化而变化了。我们定义Gj等于落在某一个叶子节点上的所有gi的加和， Hj定义为落在某一个j叶子节点上所有hi的加和。即：

最后损失函数表示为：

现在这个损失函数是大还是小，取决于谁呢？GjWj是已经知道的，Hj这一项也是知道的，λ是自己设的超参数，只有wj是未知的。当它等于什么的时候能让Obj最小呢？这又是一个二次函数，当x=-b/a2的时候最小，在这里wj是未知数，b是Gj，a是1/2(Hj+λ)，所以根据表达式，即wj如下的时候：

能让损失函数等于最小值。此时损失函数根据一般的二次方程的最小值表达形式-b^2/4+c，此时损失函数的最小值可以表达出来如下：

这是一个简单的二次函数，函数的最小值解能写出来。

所以我们可以看到叶子节点的表达不再等于y平均了，而等于上面wj的表达。

举个例子，假设有这么一棵树：

分到一号叶子节点有的第一号样本，分到二号叶子节点有第四号样本，分到第三个叶子节点有235，三个样本。此时的G1就是小男孩的g1，H1就是小男孩的h1。G3=g2+g3+g5，H2=h2+h3+h5。最终的得分，左边为什么是+2？g1就应该等于前面所有的树对y的偏导，算出了具体的值。对它再求一次偏导，算出h。g1,h1是具体数，每一条样本都可以带到一阶导和二阶导的函数里面，算出它的g和h。在分裂的过程中，如果分到了同一个叶子节点，要把它们所有的g，h相加，再带到刚才obj公式里面去，算得一个叶子节点表达即2。所以叶子结点的表达就不再是平均了，而变成了跟以前的预测结果相关的。

4、如何生长一棵新的树？

假如我想训练第T+1棵树，也是就f(t+1)，那你在手里有什么，你其实有个FT，你手里还有一个训练集，根据这些我们能得到从g1一直到gn，从h1一直到hn。它们每一个都是训练集背后具体的一个数。

我们看下从最开始的首先一个根节点，这个根节点里包含了n条数据。你每次分裂，就像树一样，变例所有可能的分裂的维度，每次分裂，都能算一下此时的obj等于多少，Obj是关于G和H的，然后再求和，在加上一个t倍的γ，你每尝试一次就算一次obj，是不是总能找到一个使得obj最小的那个标准，固化在这，没问题吧？

上面是两个叶子结点。

接下来我该试着下一次分裂是不是左边的节点又能一份为二，如下：

分完之后这棵树变为3个叶子结点，然后1里边落哪些，你每次分裂的时候。假如这棵树就是现在这个额结构，那么我obj应该能等于多少也可以求出来。所以肯定能够找到使得obj最小的的分裂去分他，没问题吧。然后再一次的对1号节点分裂，然后发现，无论选择哪一个分裂，obj都没有下降，此时怎么办，不分裂了，它就是叶子结点了，那你知道这是叶子结点了要去计算这个叶子结点未来怎么表达啊，怎么表达呢，用刚才那个

来表达，这个节点固定死在这了，这个节点里有哪些样本，也都知道了，G知道了，H也知道了，λ是你自己写的，这个节点就这样了。接下来再去找2号节点分裂看下能不能使得损失函数再下降一下，能下降就分，不能下降就不分了，接着去算这个叶子节点的表达，这个实际上就是树分裂学习的方法。

当然也会有预剪枝的条件，xgboost里边也有最大深度来让你设置，那么它到底是听最大深度的呢，还是听损失函数的呢，哪个先达到底线，就听那个，假如说损失函数还没达到最大深度已经不下降了，那他它也不会在训练了，假如损失函数还想着自己还有潜力再下降，但是已经达到最大深度，此时也不在下降了。

以上就是如何长成新树的流程。总结下，初始所有样本都在同一个根节点里，当它一分为二了，选定所有分裂条件都试一试，注定有一部分节点落在左边，一部分节点落在右边。只要这次分裂分出来了，G和H就可以算了，T也就知道了。此时就可以看Obj的函数等于多少？原始的损失函数能算，分出来之后的损失函数函数，看哪次下降的最多，就把那次分裂作为这一次的分裂条件保存下来，随着每次分裂，T一定会+1，每分裂一次叶子节点就会多一个。

Loss这一项会下降，下降了的这个值一定要胜过+1这个值，它才会认为目标函数下降了，否则就是没带来多大提升，还白白的多弄出来一个叶子，这样效果不好。

所以xgboost不需要人工剪枝，它通过正则项就把剪枝的能力赋予它了，当它生长发现注定会+1的情况下，而遍历了所有维度，发现没有一个能打败这个东西+1的损失的，它就停止生长了。相当于自动的剪枝。

如何去搜索条件分裂？就是一个线性搜索挨个尝试在不同位置进行分裂。哪种分裂能带来最大的增益，就保留哪一个条件作为分裂条件。实际上它定义了增益的形式，增益就等于

这是分裂后的目标函数的值减去旧目标函数的值，也就是左子节点的得分

，加上右子节点的得分

。减去不分裂的得分

。因为每一次新的分裂叶子结点永远只增加一个(可参考上面图例)，而每一次分裂的得分都带一部分λT，所以λ(T+1)-λT=λ。也就是上式为什么带个λ的原因。

5、xgboost相比原始GBDT的优化：

1、原始GBDT是一个原始空间的梯度下降，它实际上是对损失函数进行一个一阶的展开，去求这个一阶泰勒展开的近似，而xgboost采用二阶泰勒展开拟合目标函数的L部分。也就是类似牛顿法来使函数收敛的次数更快，所以它需要更少棵树，就可以达到一个比较不错的预测结果，这是它的理论依据。

2、xgboost还增加了一个正则项，

来防止过拟合。

3、它引入了缩水系数，大F(x)是若干f(x)的加和，我们每次新训练一棵树，也要给它加一个学习率进去，也就是f(x)前面也加了一个学习率，叫η。即ηf(x)。所以新的大F(x)表达即为

。如果η为1，就没有缩水，每次加的就是得到损失函数最小的那个小树。

4、xgboost 有自己的剪枝策略。对于剪枝它不需要特意的去确定，只要把超参数确定了，γ和λ确定了之后，它会自动的根据损失函数到底是上升了还是下降了，决定是否还要继续分裂下去。

5、它天生可以应对缺失值，在它的实现里边对缺失值做了一些处理。

6、它可以自定义损失函数传进去，损失函数需要传一个g和h的返回，你定义两个方式就可以。

7、它支持集群运算。通常我们说Boosting是不支持集群运算的，根据这棵树的预测结果，甚至所有树的结果来生成下一个树。工作量在训练树中的排序部分，我们说每次分裂都要去对可能的条件做一个线性搜索，然后排序，在排序的过程中，它会可以通过集群，多任务来跑排序。虽然我们以树为粒度，我们没有办法把它分配到多个机器上跑，但是以树内部的分类归并排序，在集群上来跑，所以这样它一定程度上支持了集群。

6、代码参数：

from xgboost import XGBClassifierXGBClassifier()

它有哪些超参数？

max_depth：虽然它不需要设置预剪枝，但同样可以强制的设一下树的深度，强制不要让它走太深。

learning_rate：就是刚才说的缩水系数，学习率。

n-estimators：总共树的棵数，对应着牛顿法里面的迭代次数。

silent：true和false取决于它会不会在你的控制台打印它训练的一些损失，你能看到损失在第多少棵树的时候就不再变化了，达到低谷收敛了。

objective：目标函数，它默认提供了mse ， Logistic，也就是用逻辑回归做的二分类、multiclass，还有一些其它的。另外一个非常厉害的地方，是它支持你自己定义损失函数，在objective可以传入一个函数进来，它要求g和h分别怎么算，告诉它求完一阶导之后等于什么，二阶导之后等于什么就行了。它要g和h是怎么算，输入一个yi一组序列，输入一个ŷi，然后算出所有g和h。

subsample：每次训练小树的时候，要从训练集中行抽样了多少，如果设置这个参数，便不再是有放回的随机抽样了，默认是1。随机森林它一定是有100万条数据，它生成的每一个子数据集都是100万条数据，因为它没有subsample，你不可以设置，它就是1。

Colsample-bytree：代表每次训练一棵树的时候，要不要少给它一些维度让它看， 1是100%的意思。