来源：北京大学《离散数学》公开课
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2.1 有序对和卡氏积
- 有序对<a,b>：有顺序，类似于数组，可以用集合定义。
性质：有序对内元素对应相等
- 卡氏积A×B：所有元素一个来自A集合，另一个来自B集合的有序对
性质：不满足交换律，不满足结合律，对并和交满足分配律，具有单调性（证明见北大教材p25）
2.2 二元关系
- A到B的二元关系定义：A×B的任一子集，即A×B幂集中的一个元素组成的集合（注意二元关系也是集合）
- A到B的二元关系的总个数：|P(A×B)|
- A上的特殊二元关系：空关系、恒等关系、全域关系、整除关系，大于小于关系，包含关系（只有包含关系定义在幂集P(A)上，见p26）
- 定义域、值域、域（由二元关系定义的集合）
- 关系的特殊情况：F是单根的、F是单值的（即F定义了一个函数）
- 二元关系的运算：
- 逆F^-1：将关系集合中所有的有序对反向
- 逆序合成FoG：有公共中间元素的有序对的集合
- 限制F↑A：x属于A的关系集合
- 象F[A]：F↑A的值域，定义域为A的有序对集合对应的值域
- 合成运算定理1：合成运算结合律（重要）
- 合成运算定理2：A与B合成运算的逆=B逆与A逆的合成运算
2.3 关系的表示和关系的性质
- 关系矩阵（图的矩阵表示）
- 关系图
- 关系的性质
- 自反性：每个点都有环
- 反自反性：每个点都没有环
- 对称性：任意两点间要么有两条边要么没边
- 反对称性：任意两点间都没有两条边
- 传递性：可走捷径（注意考虑有环的情况）
2.4 关系幂运算和关系闭包
（一）关系幂
- 关系R的n次幂：R与自己合成n次后得到的关系集合。也可以理解为G(R)中长度为n的路径的起点和终点组成的有序对的集合
- 关系幂具有指数律：R^m * R^n = R^(m+n)，(R^m)^n=R^(mn)
（二）闭包
- R的闭包的定义：包含R，满足给定性质，最小的有序对集合（包含于任意一个）
- 闭包的种类：
- 自反闭包：r(R)
- 对称闭包：s(R)
- 传递闭包：t(R)
3. 闭包运算的性质
- 定理2.19：闭包运算有不动点
- 定理2.20：闭包运算有单调性（即较大的集合的闭包也较大）
- 定理2.21：闭包运算对自反闭包和对称闭包的并有分配律，对传递闭包的并没有分配率
4. 闭包的集合求法：
- 定理2.22：自反闭包=R U 恒等关系
- 定理2.23：对称闭包=R U R的逆
- 定理2.24：传递闭包=R U R^2 U R^3 U.....（求传递闭包，就是把从此点可走到的点直接连起来）
5. 闭包的图求法：
- 自反闭包：所有定点加环
- 对称闭包：所有单向边化为双向边
- 传递闭包：遍历所有点，把从此点可达到的点直接与此点连起来
6. 闭包的矩阵求法：
- 自反闭包：主对角线全部改成1
- 对称闭包：改为对称矩阵
- 传递闭包：矩阵R 逻辑或 矩阵R^2 逻辑或 矩阵R^3........（逻辑或指：对所有运算式中的矩阵的每个对应位置上的元素进行或运算）
7. 定理2.25：求闭包后关系性质是否改变
- 自反性在求闭包后保持不变
- 对称性在求闭包后保持不变
- 传递性在求对称闭包后可能改变（反例：a->b具有传递性，但它的对称闭包为a<->b，不具有传递性，因为a到a要两步才能达到）
8. 定理2.26：闭包运算的交换律
- 求自反闭包和对称闭包运算可交换
- 求自反闭包和传递闭包运算可交换
- 求对称闭包和传递闭包运算不可交换，其中先求传递闭包再求对称闭包得到的闭包较大
2.5 等价关系和划分
- 等价关系
- 定义
等价关系R是自反，对称，传递的二元关系
- 用等价关系分类
空关系（不是等价关系）、恒等关系（是等价关系，把每个元素自己分成一类）、全域关系（是等价关系，把所有元素分成一类）
2. 等价类
- R的等价类定义
所有与x有R关系的y的集合，记为[x]
- 等价类的一个例子
R为除以3后的同余关系（即x与y除以3的余数相等）
可证：除以n后的同余关系为等价关系（证：xRy等价于关系式x-y=k*n, 其中k为整数。由定义易证此关系式满足自反性、对称性，传递性）
现取dom={1,2,3,4,5}
那么有等价类：
[1]=[4]={1,4}（1,4是一个等价类，余数都是1）
[2]=[5]={2,5}（2,5是一个等价类，余数都是2）
[3]={3}（3是一个等价类，余数都是0）
在G(R)上可观察到，1,4；2,5；3分别满足全域关系（所有的点之间连通），即每个等价类内部具有全域关系
由此性质可知，得到关系的等价类后，就可以直接推导出所有的关系
- 等价类的性质（定理2.27）
- 非空（由于等价关系需满足自反性，所以等价类中至少包含x自己）
- 若xRy，则[x]R=[y]R（因为等价关系R满足对称性和传递性。由对称性：y与x有关，由传递性：y与x有关，x与其他元素有关，则y与所有与x有关的元素有关。反之，x与所有与y有关的元素有关，所以x与y的相关元素相同）
- 若x和y无关，则[x]R与[y]R不相交（反证法：若[x]R与[y]R有一个共同元素z，那么参考2的思路，由对称性和传递性可得x和y必有关）
- 所有等价类的并为A（结论显而易见，严格证明用集族的单调性，因为每个等价类都包含于A，所以所有等价类的并包含于A的并，即A自己）
可见：等价类是对A的一个划分（A的每个元素都只在其中一个等价类中，且等价类的并为A）
而等价关系确定等价类的基础。一切划分从确定一个自反、对称、传递的等价关系开始。
（ 插一句题外话：等价类让我想起了麦肯锡咨询里的一个原则：MECE：Mutually Exclusive Collectively Exhaustive（相互独立、完全穷尽）。麦肯锡把这个原则视为咨询的黄金法则，其实也就是离散数学中的划分等价类。可见许多商业逻辑的原型都是数学。）
3. 商集
- 定义
A/R：A上R的等价类组成的集合（就是A用R划分的结果）
- 例子（对应刚刚等价类中的那个例子）
{{1,4}，{2,5}，3}
- A上的等价关系有：
- IA 恒等关系
- E 全域关系
- Rij = IA U {<ai,aj>,<aj,ai>} （其中i不等于j，即所有点都有环，并且i和j结点有双向边。易证自反，对称，传递）
空关系不是等价关系
- 对应的商集
- A/IA = {{a1},{a2},...{an}}
- A/E = {{a1,a2,...,an}}
- A/Rij = ai和aj为一类，其他元素各成一类
例子：求A={a,b,c}的等价关系（5种）和商集（5个）
4. 划分（和商族等价）
- 定义：
A的一个划分是A的一个包含于A幂集的集族，满足：
集族中每个集合非空、集族中每个集合不相交，集族的并为A
- 定理2.28：
- R为A上的等价关系->A/R是A的划分
- A是A的划分->A的同块关系（即划分出的其中一个集合的关系）是A上的等价关系
- Stirling子集数
2.6 序关系
（一）偏序
- 偏序关系
- R自反、反对称（反对称指：若xRy且yRx，则x=y）、传递，则称R为偏序关系
- xRy记作x≤y
2. 偏序集
一个带有偏序关系≤的集合A即为偏序集，记作<A,≤>
3. 加细关系
划分x包含于划分y，则x是y的加细，xRy成立
4. 可比
x≤y或y≤x，则x和y可比
5. 覆盖
x≤y且x!=y，则y覆盖x
6. 哈斯图
具有偏序关系的两个结点相连接，其中若y覆盖x，则y置于x上方
哈斯图可用于绘制组织框架图
7. 全序关系
偏序集A中任意元素之间都可比，则<A,≤>为全序集
等价于哈斯图为直线
（二）拟序
- 拟序关系
R反自反、传递（蕴含了R是反对称的）
2. 定理2.30
- 拟序关系有三歧性（要么x<y要么y<x要么x=y）
- (x<y v x = y) ∧ (y<x v x = y) -> x=y
以下4组概念可以类比高数中的最大值，最小值等（严格定义见p52）
3. 最大元，最小元
4. 极大元，极小元
5. 上界，下界
6. 上确界，下确界
7. 链，反链
偏序集中两两都可比，就是链，否则是反链
- 总结：
偏序是自反，传递，反对称。实数上的小于等于是偏序关系
拟序是反自反，传递，反对称。实数上的小于是偏序关系
3.1 函数
（一）函数的基本概念
- 函数F：F为一个二元关系，且F是单值的（单值：domF中每个x至多对应ranF中一个y）
- 偏函数：domF包含于A，ranF包含于B，即A中每个x在F上不一定有B中对应的y，严格定义见p58
- 真偏函数：在偏函数的基础上，domF真包含于A，即A中一定有x在F上没有有B中对应的y，严格定义见p58
- 全函数：A中每个x在F上一定有B上对应的y
（之后讨论的都是全函数上的情况）
（二）函数的性质
- 单射：F是单根的
- 满射：值域=B
- 双射：x和y一一对应
- 象和原象
- 特征函数
- 单调函数（定义在任意的偏序关系上）
- 自然映射
f: A->A/R（映射到等价类上）
- 函数的合成
- 反函数
4.1 自然数的定义
- 封闭：F是函数，F(A)属于A -> F是A上的一元运算
- 皮亚诺系统：<M,F,e> F:M->M
- F是单射
- e不属于F的值域
- e属于M
- M最小
- M在F下封闭
- 后继运算：A+=A U {A}
- 归纳集D：集合D含有空集合，且对后继运算封闭
- 自然数用集合定义：属于每个归纳集的集合。从空集合出发，做有限次后继运算的集合一定是自然数集（0对应空集合，1对应空集合的后继，以此类推）
- 自然数集N：包含于每个归纳集的集合。N=归纳集D的广义交
后继函数：N->N
后继函数是单射
- 定理4.1 自然数集是归纳集
- 定理4.2 <N,后继函数,0>为皮亚诺系统
- 定理4.3 任何自然数的元素均为它的子集
- 定理4.4 m,n属于自然数集，m的后继属于n的后继 等价于 m属于n
- 定理4.5 任何自然数都不是自己的元素
- 定理4.6 空集属于除0以外的任何自然数
- 定理4.7 单歧性：m属于n，m=n和n属于m有且仅有一个成立
4.2 自然数的性质
- 传递集：A中的任何元素也是A的元素
- 自然数是传递集
- 定理4.10
A是传递集，等价于A的广义并包含于A，等价于y属于A，有y包含于A，等价于A包含于P(A)
- 定理4.11
A为传递集，等价于P(A)为传递集
- 定理4.12
A为传递集，等价于A后继运算的广义并为A
- 定理 4.13
每个自然数都是传递集
- 自然数集合N时传递集
- 自然数集上的二元运算
- 加法
- 乘法
5.1 集合的等势
- 等势：
A与B等势：存在f，使A->B双射
eg.整数集和自然数集是等势的
- 康托定理：
任何的集合A和它的幂集P(A)之间都不能建立双射
- 有穷集：
与某个自然数等势的集合，不能与自己的真子集建立双射的集合
- 无穷集
不能与自然数等势的集合
5.2 基数
集合等势则基数card相同
对自然数集N，cardN= N(阿列夫)
card A = Ni, 则card P(A) = Ni=1
