广播说明：
进入深度学习时代，如下的方法已经失去可比性，且我们的代码实现地很粗糙，如果坚持要用，推荐如下代码
https://github.com/wanglin193/SupervisedDescentMethod （看起来作者对sdm实现的不错）

另外一篇基于深度学习的基于回归的方法，也是使用的基于SDM的相同的思路，但是全部深度学习化，
更加鲁棒。 见：《Stacked Hourglass Network for Robust Facial Landmark Localisation》

---

本方法是当前人脸对齐最流行的算法，速度很快，很稳定。下面我将介绍一下这篇文章的整体思路和相关细节。
在介绍之前,先给出几个有用的链接:
1.)
本论文作者主页，形象地介绍了SDM的特点:
http://xiong828.github.io/sdm.html
2. )
superviseddescent C++11版本的实现:
http://patrikhuber.github.io/superviseddescent/
下面开始介绍:
人脸对齐就是要找人脸的特征点。如图
。
我们要找到眼睛、鼻子、嘴巴等特征点。那么如何去做呢？方法有很多。本文讲述了使用SDM去求特征点的方法。假设我们有一个初始的特征点$x_0$，希望通过迭代，逐步求出准确地特征点$x_*$。这就是大致的思路。

SDM方法（Supervised Descent Method ）

Derivation of SDM

给定一幅含有m个像素的图像$d\in R^{m\times 1}$,$d(x)\in R^{p\times 1}$用来索引图像的p个特征点，x代表p个特征点。$h(d(x))\in R^{128p\times 1}$代表SIFT特征向量。在训练阶段，我们假设准确的p个特征点已知，设为$x_*$。我们另外选取训练集特征点的平均值$x_0$作为初始值。如图：

这样，Face Alignment可以通过在$\Delta x$求解如下的最优化问题：

$$f(x_0+\Delta x)=||h(d(x_0+\Delta x))-\Phi_*||_2^2$$
这里 $\Phi_*=h(d(x_*))$代表手工标记的特征点的SIFT特征。在训练阶段， $\Phi_*$和 $\Delta x$已知。
$$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+J_f(x_0)^T\Delta x+\frac{1}{2}\Delta x^TH(x_0)\Delta x$$
对上面关于 $\Delta x$求导,令 $f'(x_0+\Delta x)=0$，可得
$$\Delta x_1=-H^{-1}J_f=-2H^{-1}J_h^T(\Phi_0-\Phi_*)$$
,这里 $\Phi_0=h(d(x_0))$.
令 $R=-2H^{-1}J_h^T，\Delta \Phi_0=\Phi_0-\Phi_*$,于是R可看作 $\Delta x_1$到 $\Delta \Phi_0$的线性回归系数。但是，我们知道在测试阶段， $\Phi_*$是未知的，但是固定的。因此我们不再使用 $\Phi_*$做训练，而是改用下面的公式：
$$\begin{equation*} \begin{aligned} \Delta x_1&=&-2H^{-1}J_h^T(\Phi_0-\Phi_*)\\ \Delta x_1&=&-2H^{-1}J_h^T\Phi_0+(-2H^{-1}J_h^T)(-\Phi_*)\\ \Delta x_1&=&R\Phi_0+b_0 \end{aligned} \end{equation*}$$
使用训练样本，我们的方法可以学习 $R_0,b_0$.
通常这种方法不可能一步迭代完成，需要进行多步，除非f是二次的。为了处理这个非二次的方程，SDM将产生一系列的下降方向 $\{R_k\}$和偏差 $\{b_k\}$.
即
$$\begin{equation}x_k=x_{k-1}+R_{k-1}\Phi_{k-1}+b_{k-1} \quad (1)\end{equation}$$ ,使得对于训练图片集， $x_k$将收敛到 $x_*$.

Learning for SDM

假定给定一系列人脸$\{d^i\}$与对应的特征点$\{x_*^i\}$.对于每张图片，从初始的特征点$x_0^i$出发，$R_0,b_0$可以通过求解最优化问题获得：

$$\begin{matrix} arg\\R_0 \end{matrix}\begin{matrix} min\\b_0 \end{matrix}\sum_{d^i}\int p(x_0^i)||\Delta x^i-R_0\Phi_0^i-b_0||^2dx_0^i$$
这里 $\Delta x^i=x_*^i-x_0^i,\Phi_0^i=h(d^i(x_0^i))$.
我们假定 $x_0^i$可以从服从正态分布的人脸检测框对齐采样。于是上面的最优化问题化为：
$$\begin{matrix} arg\\R_0 \end{matrix}\begin{matrix} min\\b_0 \end{matrix}\sum_{d^i}\sum_{x_0^i}||\Delta x^i-R_0\Phi_0^i-b_0||^2$$
以上方程是个线性的最优化问题，可以直接求解。
当第一步求解完毕后，代入方程式（1）,可以求出 $x_1$,进而又可以计算特征向量 $\Phi_k^i=h(d^i(x_k^i))$和 $\Delta x_*^{ki}=x_*^i-x_k^i$.这样 $R_k,b_k$可以通过一个新的线性回归得到。
$$\begin{matrix} arg\\R_k \end{matrix}\begin{matrix} min\\b_k \end{matrix}\sum_{d^i}\sum_{x_k^i}||\Delta x_*^{ki}-R_k\Phi_k^i-b_k||^2$$
随着k的增大，误差逐渐减小，一般4到5次的迭代就可以达到比较好的效果。

Training for SDM

当我们计算出一系列的$\{R_k\},\{b_k\}$,我们就可以通过迭代式（1）通过迭代求解特征点。一般初始的特征点可以选取训练时的初始特征点。
后续我们还会给出SDM方法的Matlab代码及相关说明，你就会看到比较清楚的步骤和效果了。