第五部分一阶逻辑等值演算与推理

目录

基本等值式

例1 将下面命题用两种形式符号化, 并证明两者等值:

例2 将公式化成等值的不含既有约束出现、又有自由出现

例3 设个体域D={a,b,c}, 消去下述公式中的量词:

例4 求下列公式的前束范式

推理的形式结构

定义5.3 自然推理系统

构造推理证明的实例

例5 在自然推理系统中构造下面推理的证明, 取个体域R:

例6 在自然推理系统中，构造推理的证明

基本要求

定义 5.1 设 A , B 是两个谓词公式 , 如果 A ↔ B 是永真式 , 则称 A 与 B 等值 , 记作 A ⇔ B , 并称 A ⇔ B 是 等值式

基本等值式

第一组 命题逻辑中 16 组基本等值式的代换实例

例如

¬¬∀ xF ( x ) ⇔∀ xF ( x ),

∀ xF ( x ) →∃ yG ( y ) ⇔ ¬∀ xF ( x ) ∨∃ yG ( y ) 等

第二组

(1) 消去量词等值式

设 D ={ a 1 , a 2 , … , a n }

① ∀ xA ( x ) ⇔ A ( a 1 ) ∧ A ( a 2 ) ∧ … ∧ A ( a n )

② ∃ xA ( x ) ⇔ A ( a 1 ) ∨ A ( a 2 ) ∨ … ∨ A ( a n )

(2) 量词否定等值式

① ¬∀ xA ( x ) ⇔ ∃ x ¬ A ( x )

② ¬∃ xA ( x ) ⇔ ∀ x ¬ A ( x )

(3) 量词辖域收缩与扩张等值式 .

A ( x ) 是含 x 自由出现的公式， B 中不含 x 的自由出现

关于全称量词的：

① ∀ x ( A ( x ) ∨ B ) ⇔ ∀ xA ( x ) ∨ B

② ∀ x ( A ( x ) ∧ B ) ⇔ ∀ xA ( x ) ∧ B

③ ∀ x ( A ( x ) → B ) ⇔ ∃ xA ( x ) → B

④ ∀ x ( B → A ( x )) ⇔ B →∀ xA ( x )

关于存在量词的：

① ∃ x ( A ( x ) ∨ B ) ⇔ ∃ xA ( x ) ∨ B

② ∃ x ( A ( x ) ∧ B ) ⇔ ∃ xA ( x ) ∧ B

③ ∃ x ( A ( x ) → B ) ⇔ ∀ xA ( x ) → B

④ ∃ x ( B → A ( x )) ⇔ B →∃ xA ( x )

(4) 量词分配等值式

① ∀ x ( A ( x ) ∧ B ( x )) ⇔ ∀ xA ( x ) ∧∀ xB ( x )

② ∃ x ( A ( x ) ∨ B ( x )) ⇔ ∃ xA ( x ) ∨∃ xB ( x )

注意： ∀ 对 ∨ ， ∃ 对 ∧ 无分配律

1. 置换规则

设 Φ ( A ) 是含 A 的公式 , 那么 , 若 A ⇔ B , 则 Φ ( A ) ⇔ Φ ( B ).

2. 换名规则

设 A 为一公式，将 A 中某量词辖域中个体变项的所有约束 出现及相应的指导变元换成该量词辖域中未曾出现过的个 体变项符号，其余部分不变，设所得公式为 A ′ ，则 A ′⇔ A .

3. 代替规则

设 A 为一公式，将 A 中某个个体变项的所有自由出现用 A 中 未曾出现过的个体变项符号代替，其余部分不变，设所得 公式为 A ′ ，则 A ′⇔ A

例1 将下面命题用两种形式符号化, 并证明两者等值:

(1) 没有不犯错误的人

解令 F ( x ) ： x 是人， G ( x ) ： x 犯错误 .

¬∃ x ( F ( x ) ∧¬ G ( x )) 或 ∀ x ( F ( x ) → G ( x ))

¬∃ x ( F ( x ) ∧¬ G ( x ))

⇔ ∀ x ¬ ( F ( x ) ∧¬ G ( x))         量词否定等值式

⇔ ∀ x ( ¬ F ( x ) ∨ G ( x))         置换规则

⇔ ∀ x ( F ( x ) → G ( x))         置换

(2) 不是所有的人都爱看电影

解令 F ( x ) ： x 是人， G ( x ) ：爱看电影 .

¬∀ x ( F ( x ) → G ( x )) 或 ∃ x ( F ( x ) ∧¬ G ( x ))

¬∀ x ( F ( x ) → G ( x ))

⇔ ∃ x ¬ ( F ( x ) → G ( x))         量词否定等值式

⇔ ∃ x ¬ ( ¬ F ( x ) ∨ G ( x))         置换规则

⇔ ∃ x ( F ( x ) ∧¬ G (x))         置换规则

例2 将公式化成等值的不含既有约束出现、又有自由出现

的个体变项 : ∀ x ( F ( x , y , z ) →∃ yG ( x , y , z ))

解 ∀ x ( F ( x,y,z ) →∃ yG ( x,y,z ))

⇔ ∀ x ( F ( x,y,z ) →∃ tG ( x,t,z))         换名规则

⇔ ∀ x ∃ t ( F ( x,y,z ) → G ( x,t,z))         辖域扩张等值式

或者

∀ x ( F ( x,y,z ) →∃ yG ( x,y,z ))

⇔ ∀ x ( F ( x,u,z ) →∃ yG ( x,y,z))         代替规则

⇔ ∀ x ∃ y ( F ( x,u,z ) → G ( x,y,z))         辖域扩张等值式

这两个例子很好的解释了换名规则和代替规则

例3 设个体域D={a,b,c}, 消去下述公式中的量词:

(1) ∀ x ∃ y ( F ( x ) → G ( y ))

解

∀ x ∃ y ( F ( x ) → G ( y ))

⇔ ( ∃ y ( F ( a ) → G ( y ))) ∧ ( ∃ y ( F ( b ) → G ( y ))) ∧ ( ∃ y ( F ( c ) → G ( y )))

⇔ (( F ( a ) → G ( a )) ∨ ( F ( a ) → G ( b )) ∨ ( F ( a ) → G ( c ))) ∧ (( F ( b ) → G ( a )) ∨ ( F ( b ) → G ( b )) ∨ ( F ( b ) → G ( c ))) ∧ (( F ( c ) → G ( a )) ∨ ( F ( c ) → G ( b )) ∨ ( F ( c ) → G ( c )))

解法二

∀ x ∃ y ( F ( x ) → G ( y ))

⇔ ∀ x ( F ( x ) →∃ yG ( y )) 辖域缩小等值式

⇔ ∀ x ( F ( x ) → G ( a ) ∨ G ( b ) ∨ G ( c ))

⇔ ( F ( a ) → G ( a ) ∨ G ( b ) ∨ G ( c )) ∧ ( F ( b ) → G ( a ) ∨ G ( b ) ∨ G ( c )) ∧ ( F ( c ) → G ( a ) ∨ G ( b ) ∨ G ( c ))

(2) ∃ x ∀ yF ( x,y )

∃ x ∀ yF ( x,y )

⇔ ∃ x ( F ( x,a ) ∧ F ( x , b ) ∧ F ( x , c ))

⇔ ( F ( a,a ) ∧ F ( a , b ) ∧ F ( a , c )) ∨ ( F ( b,a ) ∧ F ( b , b ) ∧ F ( b , c )) ∨ ( F ( c,a ) ∧ F ( c , b ) ∧ F ( c , c ))

定义 5.2 设 A 为一个一阶逻辑公式，若 A 具有如下形式 Q 1 x 1 Q 2 x 2 … Q k x k B 则称 A 为 前束范式 ，其中 Q i (1 ≤ i ≤ k ) 为 ∀ 或 ∃ ， B 为不含量词 的公式 .

例如

∀ x ¬ ( F ( x ) ∧ G ( x ))

∀ x ∃ y ( F ( x ) → ( G ( y ) ∧ H ( x , y ))) 是前束范式

而 ¬∃ x ( F ( x ) ∧ G ( x ))

∀ x ( F ( x ) →∃ y ( G ( y ) ∧ H ( x , y ))) 不是前束范式，

定理 5.1 （前束范式存在定理）

一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式

例4 求下列公式的前束范式

(1) ¬∃ x ( M ( x ) ∧ F ( x ))

解 ¬∃ x ( M ( x ) ∧ F ( x ))

⇔ ∀ x ( ¬ M ( x ) ∨¬ F ( x )) （量词否定等值式）

⇔ ∀ x ( M ( x ) →¬ F ( x ))

后两步结果都是前束范式，说明公式的前束范式不唯一

(2) ∀ xF ( x ) ∧¬∃ xG ( x )

解 ∀ xF ( x ) ∧¬∃ xG ( x )

⇔ ∀ xF ( x ) ∧∀ x ¬ G ( x ) 量词否定等值式

⇔ ∀ x ( F ( x ) ∧¬ G ( x )) 量词分配等值式

或

∀ xF ( x ) ∧¬∃ xG ( x )

⇔ ∀ xF ( x ) ∧∀ x ¬ G ( x ) 量词否定等值式

⇔ ∀ xF ( x ) ∧∀ y ¬ G ( y ) 换名规则

⇔ ∀ x ∀ y ( F ( x ) ∧¬ G ( y )) 辖域收缩扩张规则

(3) ∀ xF ( x ) →∃ y ( G ( x , y ) ∧¬ H ( y ))

解 ∀ xF ( x ) →∃ y ( G ( x , y ) ∧¬ H ( y ))

⇔ ∀ zF ( z ) →∃ y ( G ( x , y ) ∧¬ H ( y )) 换名规则

⇔ ∃ z ∃ y ( F ( z ) → ( G ( x , y ) ∧¬ H ( y ))) 辖域收缩扩张规则

或

⇔ ∀ xF ( x ) →∃ y ( G ( z , y ) ∧¬ H ( y )) 代替规则

⇔ ∃ x ∃ y ( F ( x ) → ( G ( z , y ) ∧¬ H ( y )))

推理的形式结构

1. A 1 ∧ A 2 ∧…∧ A k → B

若次式是永真式 , 则称推理正确 , 记作 A 1 ∧ A 2 ∧…∧ A k ⇒ B

2. 前提 : A 1 , A 2 , … , A k

结论 : B

推理定理 : 永真式的蕴涵式

第一组 命题逻辑推理定理的代换实例

如 , ∀ xF ( x ) ∧∃ yG ( y ) ⇒ ∀ xF ( x )

第二组 基本等值式生成的推理定理

如 , ∀ xF ( x ) ⇒¬¬∀ xF ( x ), ¬¬∀ xF ( x ) ⇒∀ xF ( x )

¬∀ xF ( x ) ⇒∃ x ¬ F ( x ), ∃ x ¬ F ( x ) ⇒ ¬∀ xF ( x )

第三组 其他常用推理定律

(1) ∀ xA ( x ) ∨∀ xB ( x ) ⇒ ∀ x ( A ( x ) ∨ B ( x ))

(2) ∃ x ( A ( x ) ∧ B ( x )) ⇒∃ xA ( x ) ∧∃ xB ( x )

(3) ∀ x ( A ( x ) → B ( x )) ⇒ ∀ xA ( x ) →∀ xB ( x )

(4) ∃ x ( A ( x ) → B ( x )) ⇒ ∃ xA ( x ) →∃ xB ( x )

1. 全称量词消去规则 ( ∀ -)

∀ xA ( x)或∀ xA ( x )

——— ———

∴ A ( y)   ∴ A (c )

其中 x , y 是个体变项符号 , c 是个体常项符号 , 且在 A 中 x 不在 ∀ y 和 ∃ y 的辖域内自由出现

2. 全称量词引入规则 ( ∀ +)

    A( x )

————

∴∀ xA ( x )

其中 x 是个体变项符号 , 且不在前提的任何公式中自由出现

3. 存在量词消去规则 ( ∃ -)

A( x ) → B

—————

∴∃ xA ( x ) → B

其中 x 是个体变项符号 , 且不在前提的任何公式和 B 中自由 出现

4. 存在量词引入消去规则 ( ∃ +)

A(y)          或      B→A(y)

———— —————

∴∃ xA (x)         ∴B →∃ xA ( x )

A(c)          或      B→A(c)

———— —————

∴∃ xA (x)         ∴B →∃ xA ( x )

其中 x , y 是个体变项符号 , c 是个体常项符号 , 且在 A 中 y 和 c 不在 ∀ x 和 ∃ x 的辖域内自由出现 .

定义5.3 自然推理系统

推理规则 :

(1) 前提引入规则

(2) 结论引入规则

(3) 置换规则

(4) 假言推理规则

(5) 附加规则

(6) 化简规则

(7) 拒取式规则

(8) 假言三段论规则

(9) 析取三段论规则

(10) 构造性二难推理规则

(11) 合取引入规则

(12) ∀ - 规则

(13) ∀ + 规则

(14) ∃ - 规则

(15) ∃ + 规则

构造推理证明的实例

例5 在自然推理系统 中构造下面推理的证明, 取个体域R:

不存在能表示成分数的无理数 . 有理数都能表示成分数 .

所以 , 有理数都不是无理数 .

解

设 F ( x ): x 是无理数 , G ( x ): x 是有理数 , H ( x ): x 能表示成分数 .

前提 : ¬∃ x ( F ( x ) ∧ H ( x )), ∀ x ( G ( x ) → H ( x ))

结论 : ∀ x ( G ( x ) →¬ F ( x ))

证明 :

① ¬∃ x ( F ( x ) ∧ H ( x))         前提引入

② ∀ x ( ¬ F ( x ) ∨¬ H (x))         ①置换规则

③ ∀ x ( F ( x ) →¬ H (x))         ②置换规则

④ F ( x ) →¬ H ( x)         ③ ∀-

⑤ ∀ x ( G ( x ) → H ( x))         前提引入

⑥ G ( x ) → H ( x)         ⑤ ∀ -

⑦ H ( x ) →¬ F (x)         ④置换规则

⑧ G ( x ) →¬ F ( x)         ⑥⑦假言三段论

⑨ ∀ x ( G ( x ) →¬ F ( x))         ⑧ ∀ +

要特别注意使用 ∀ - 、 ∀ + 、 ∃ - 、 ∃ + 规则的条件

例6 在自然推理系统 中，构造推理的证明

人都喜欢吃蔬菜．但不是所有的人都喜欢吃鱼．所以, 存在喜欢吃蔬菜而不喜欢吃鱼的人

解

令 F ( x ): x 为人， G ( x ): x 喜欢吃蔬菜， H ( x ): x 喜欢吃鱼

前提： ∀ x ( F ( x ) → G ( x )), ¬∀ x ( F ( x ) → H ( x ))

结论： ∃ x ( F ( x ) ∧ G ( x ) ∧¬ H ( x ))

证明：用归谬法

(1) ¬∃ x ( F ( x ) ∧ G ( x ) ∧¬ H ( x))         结论否定引入

(2) ∀ x ¬ ( F ( x ) ∧ G ( x ) ∧¬ H ( x))         (1)置换规则

(3) ¬ ( F ( y ) ∧ G ( y ) ∧¬ H ( y))         (2)∀−

(4) G ( y ) → ¬ F ( y ) ∨ H ( y)         (3)置换规则

(5) ∀ x ( F ( x ) → G ( x))         前提引入

(6) F ( y ) → G ( y)         (5)∀−

(7) F ( y ) → ¬ F ( y ) ∨ H ( y)         (4)(6)假言三段论

(8) F ( y ) → H ( y)         (7)置换规则

(9) ∀ y ( F ( y ) → H ( y))         (8)∀ +

(10) ∀ x ( F ( x ) → H ( x))         (9)置换规则

(11) ¬∀ x ( F ( x ) → H ( x))         前提引入

(12) 0         (10)(11)合取

注意：

如果不明白什么是置换规则可以去看第二部分命题逻辑等值演算，简单来说置换规则就是基本等值式

基本要求

深刻理解并牢记一阶逻辑中的重要等值式 , 并能准确而熟 练地应用它们

熟练正确地使用置换规则、换名规则、代替规则

熟练地求出给定公式的前束范式

深刻理解自然推理系统 N L 的定义，牢记 N L 中的各条推理 规则，特别是注意使用 ∀− 、 ∀ + 、 ∃ + 、 ∃− 4 条推理规则的 条件

能正确地给出有效推理的证明