行列式性质🎈

• 设行列式$|A|=\det (a_{ij})$,行列式性质主要有5条

转置不变性质

• 行列式与它的转置行列式相等

• 或说经过转置,行列式的值不变(方阵$A$转置前后取行列式的值相等)

  • $$|A^T|=|A|$$

  • $n$阶方阵$B=A^T$的内容构成:$b_{ij}=a_{ji}$,$i,j=1,2,\cdots ,n$

• 行列式的行性质和列性质是等同的

  • 假设方阵$A,B$满足:$A$=$B^T$,由于转置不改变行列式的值可知,可以通过研究转置矩阵来代替被转置矩阵,从而行性质和列性质就相互等同.

交换性质

• 两行交换位置,行列式值取反$\text{exchange}(|A|,i,j)=-|A|,i\ne j$
  • 如果某个行列式存在有两行相同,那么|A|=0
    • 设A存在2行相同的行(分别记为行i,j),这种情况下,将行i,j对调后行列式记为|B|
    • 方阵A,B满足关系:B=A,即$|B|=|A|$
    • 而上一条性质告诉我们,交换了行列式中的任意2行,结果都要取反;$|B|=-|A|$
    • 综上,$|B|=|A|=-|A|$,从而$|A|=0$

多重交换@移动(抽出插入)👺

• 假设某个操作将行列式的第i行抽出,并插入到第j行的位置($j\ne i$)

• 这个操作可以通过执行若干次相邻行之间的位置交换实现

• 例如,可以把副对角三角行列式执行若干次行交换得到主对角三角行列式

  • $$\left|\begin{array}{cccc}& & & {\lambda }_n\\ & & ⋮& \\ & {\lambda }_2& & \\ {\lambda }_1& & & \end{array}\right|\to \left|\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & ⋮& \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right|$$

  • 将第$n$行和前$n-1$行依次交换位置(第n行逐次上升,执行$n-1$次交换后变成第一行,原先其他所有行的行号减1),此时的行列式记为$|A_1|$

    • $$\left|\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & & & {\lambda }_n\\ & & ⋮& \\ & {\lambda }_2& & \end{array}\right|$$

  • 操作对象变为$A_1$,将$A_1$的最后一行(${\lambda }_2$)通过逐行交换,使其行号变为2,得到$|A_2|$行行列式

  • 反复操作($n-1$)次,最后得到的主对角线三角行列式为$|A_{n-1}|$,简记为$|A^{\prime }|$

    • $n-1$次:对于$n,n-1,\cdots ,2,1$n个逆序的数,需要排序n-1次才能从逆序变为正序
    • 注意n个数中的n-1个数如果都处在正序结果的正确位置上,那么剩下一个必然也处在正确位置上,所以排序n-1次而不是n次(冒泡排序)

  • $|A^{\prime }|=(-1{)}^{{\sum }_{i=1}^{n-1}i}|A|=(-1{)}^{\frac{1}{2}n(n-1)}|A|$

因子提取性质

• 行列式的某行(记为第i行)中的每个元素具有公因子k,则k可以提取到行列式之外作为行列式因子

  • $$\left|\begin{array}{cccc}⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ k{a}_{i1}& k{a}_{i2}& \cdots & k{a}_{in}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\end{array}\right|=k\left|\begin{array}{cccc}⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\end{array}\right|$$

  • 某行的元素全为0,则行列式$|A|=0$

  • 某两行成比例关系,那么$|A|=0$

    • 因为根据公因子提取性质,假设成比例的两行的比例系数为k,那么提取k后,行列式内出现相同的2行,由上述性质可知,行列式的值为0

拆和性质

• 如果行列式的第i行每个元素拆分为两个元素之和

  • $a_{i,j}=b_{i,j}+c_{i,j}$

  • 则行列式|A|可以拆成两个行列式之和

    • $|A|=|A_b|+|A_c|$
    • $|A_b|和|A_c|$分别表示|A|的第i行被替换为行b和行c后的行列式

  • $$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \cdots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

倍加性质

• 把第i行的k倍加到第j行列式,行列式的值不变

  • $i\ne j$

  • $k\in R$

  • $$\left|\begin{array}{cccc}⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{j1}+k{a}_{i1}& a_{j2}+k{a}_{i2}& & a_{jn}+k{a}_{in}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{j1}& a_{j2}& & a_{jn}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\end{array}\right|,(i\ne j)$$

• 因为,根据上一条性质:

• $$\begin{gathered} \left|\begin{array}{cccc}⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& & a_{in}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{j1}+k{a}_{i1}& a_{j2}+k{a}_{i2}& & a_{jn}+k{a}_{in}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\end{array}\right| \\ =\left|\begin{array}{cccc}⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& & a_{in}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{j1}& a_{j2}& & a_{jn}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& & a_{in}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ k{a}_{i1}& k{a}_{i2}& & k{a}_{in}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\end{array}\right| \\ =|A|+0=|A| \end{gathered}$$

• 上述性质对于列同样成立🎈

• 用上述性质化简计算行列式时,可以行列混用

• 但是在矩阵(方阵)初等变换中有类似的操作中,是模拟线性方程组高斯消元法的操作

  • 如果方程组E1:$A\mathbf{x}=b$的某两个变量$x_i,x_j$位置做交换(连同他们的系数一起),得到的方程组记为E2:$A^{\prime }{\mathbf{x}}^{\prime }=b^{\prime }$,与变换前的方程组是同解的(但是$x_i,x_j$相应的对调)

    • $$\begin{gathered} A\mathbf{x}=b \\ \{\begin{array}{rl}\cdots +a_{1i}{x}_i+\cdots +a_{1j}{x}_j+\cdots & =b_1,\\ \cdots +a_{2i}{x}_i+\cdots +a_{2j}{x}_j+\cdots & =b_2,\\ & ⋮\\ \cdots +a_{ni}{x}_i+\cdots +a_{nj}{x}_j+\cdots & =b_n\end{array} \end{gathered}$$

    • $$\begin{gathered} \{\begin{array}{rl}\cdots +a_{1j}{x}_j+\cdots +a_{1i}{x}_i+\cdots & =b_1,\\ \cdots +a_{2j}{x}_j+\cdots +a_{2i}{x}_i+\cdots & =b_2,\\ & ⋮\\ \cdots +a_{nj}{x}_j+\cdots +a_{ni}{x}_i+\cdots & =b_n\end{array} \\ {A}^{\prime }{\mathbf{x}}^{\prime }=b \end{gathered}$$

    • 上述两个方程组的等价性基于加法交换律

    • 从集合的角度来讲$\mathbf{x},{\mathbf{x}}^{\prime }$中的元素构成的集合是等价的($set(\mathbf{x})=set({\mathbf{x}}^{\prime })$,只是顺序上有所不同$\mathbf{x}\ne {\mathbf{x}}^{\prime }$

  • 但是执行倍乘和倍加操作通常会导致方程组的解发生变化,

  • 如果系数矩阵的某两列发生交换

• 例如,可以先将某两列交换,这可能使得行列式很容易化为上三角行列式

  • 将普通行列式等值变形为上三角行列式,往往使得首行的元素尽可能小,再逐列进行化0
    • 当第一列符合上三角行列式后,开始处理第二列,此时可以看做n-1阶的,右下角的行列式
    • 情况转化为了上一种情况,类似的手法
  • 也可通过按行/列展开降维

手算行列式的主要方法

原理:任何行列式都可以化为三角行列式

• $$|A{|}_n=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

• 以下三角为例

  • $$|A|\to \left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}^{\prime }& & & \\ a_{21}^{\prime }& a_{22}^{\prime }& & \\ ⋮& ⋮& \ddots & \\ a_{n1}^{\prime }& a_{n2}^{\prime }& \cdots & a_{nn}^{\prime }\end{array}\right|$$

  • $|A|={\prod }_{i=1}^n{a}_{ii}^{\prime }$

• 这个方法是计算行列式的重要方法,通常手算行列式就是采用这个方法👺

• 假设n阶行列式$|A|$的最后一行的最后一个元素($a_{nn}$)是非0元素

  • 如果不是,那么可以通过行调整把$a_{in},i=1,2,\cdots ,n$中满足$a_{in}\ne 0$的任意一行调整到最后一行,使得$a_{nn}\ne 0$
    • 执行$r_i-\frac{a_{in}}{a_{nn}}{r}_n$,将各行的结果记为$r_i^{\prime }$,此时$r_i^{\prime }$的最后一个元素$a_{in}^{\prime }$=$a_{in}-\frac{a_{in}}{a_{nn}}{a}_{nn}=0$,$i=1,2,\cdots ,n-1$
    • 即$a_{1,n},\cdots ,a_{n-1,n}$全为0($a_{nn}$正上方的元素全为0)
  • 如果$a_{1,n},\cdots ,a_{n-1,n}$本身就全为0,那么更简单,直接处理前一列(并且这种情况下,$|A|=0$)

• 类似的,对于行列式的$1,\cdots ,n-1$行和列构成的$n-1$阶行列式($|A|$的余子式$A_{nn}$)可以执行类似的行变换,使得

  • $a_{1,n-1},\cdots ,a_{n-2,n-1}$全为0($a_{n-1,n-1}$正上方的元素全为0)

• 不断执行$r_i+\frac{a_{ip}}{a_{pp}}{r}_j$,($i=1,2,\cdots ,p-1$;$p=n,n-1,\cdots ,2$),就能够使得$|A|$转换为下三角行列式

• Note:上述操作只涉及到行倍增就可以达到化一般行列式为三角行列式的目的,类似的仅执行列倍增也可以化为三角行列式