有关莫比乌斯反演

对于两个定义域为整数的函数F(x)和f(x);

若有:

然后F(x)可以快速求出；

如何用F求解f呢？

莫比乌斯反演：

对于两个定义域为整数的函数F(x)和f(x);

若有:

则有：

其中μ(x)为莫比乌斯函数，其定义为：

对于（pi为质数）

若对于任意i存在ki＞1,则μ(x)=0；

否则若质因子的个数为偶数，则μ(x)=1；

若质因子的个数为奇数，则μ(x)=-1；

有了这个定义之后；

为什么这是对的呢？

莫比乌斯函数有如下性质：

      μ(1)=1;

证明：

观察上式，其含义为x的所有因子的μ和；

若x有重复质因子，则di可能有重复质因子，

但这样的话μ(di)为零；

把μ为0的部分放在一边；

剩下各自不含重复质因子的di了；

设x有k种质因子；

则设

显然，有

于是

多项式定理（杨辉三角）

带入x=-1,a=1，得证；

于是，莫比乌斯函数有了这样的性质：

这可以用来证明莫比乌斯反演；

即

 

证明：

 

发现：d的集合完全等于k的集合；

对于每一个k,考虑f(k)对答案的贡献；

发现在上式中；

当即时

 f(k)对答案贡献f(k)·μ(d)

于是：

由莫比乌斯函数的性质可知：

于是

得证；

莫比乌斯反演的另一种形式：

若有

则有

证明思路大同小异，省去；

莫比乌斯函数的求法：

莫比乌斯函数是积性函数（易证）；

于是可线性筛求解；

代码如下:

void prime(){int i,j;vis[1]=true;mob[1]=1;for(i=2;i<=MAXN;i++){if(!vis[i])pri[++cnt]=i,mob[i]=-1;for(j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<=MAXN;j++){vis[i*pri[j]]=true;if(i%pri[j])mob[i*pri[j]]=-mob[i];else{mob[i*pri[j]]=0;break;}}}
}