参考：DR_CAN
1.介绍
解决一个控制系统的问题：
- 对研究对象进行分析
- 控制器设计
- 测试
分析被控对象的物理特性及动态表现，在这个基础上建立数学模型，数学模型可以是动力学模型、热力学模型、流体力学模型和经济学模型等，然后在数学模型的基础上进行控制器的设计，为满足不同的要求就要应用不同的控制方法（传统控制控制、PID控制、非线性控制、自适应控制和优化控制等）,紧接着选择测试平台，可以是仿真平台、实验室模型样机和真实设备等。最后不断将实验结果与模型比较，对数学模型不断的验证和更新。
涉及的内容： 动态系统建模：
- 电力，KCL，KVL
- 流体
- 热力学
- 机械系统
拉普拉斯+微分方程 时域分析 频域分析
2.电路系统建模
基础元件：
流速：
电阻电压：
电量:
电感：
基尔霍夫定律 KCL：所有进入某节点的电流的总和等于所有离开这个节点的电流的总和
KVL：沿着闭合回路所有元件两端的电压的代数和为零
KVL
两边求导
loop 1:
loop 2:
合并：
这是一个大圈，因此在用KVL时，不一定都用小圈，也可用大圈。
loop 1:
loop 2:
由（1）（2）式得
由（2）得
由（3）（4）式得
求
由（5）（6）式得
小结： KVL列方程，然后消掉自己定义的电流
loop 1:
loop 2:
loop 3:
我们的目的是找到
由（1）（2）式得
由（3）（4）式得
（5）式还有
由（5）（6）式得
只有电流
3.流体系统建模
流体系统的几个基本元素： 此处默认为不可压缩的均质流体
压强有三个概念，比如说对于容器的液体来说，它的高度是
除了液体的压强以外还有大气压强，绝对压强（Absolute Pressure）
测量出来的压力称为表压（Gauge Pressure）
流阻Fluid Resistance 产生流阻的原因是流体在流动的过程中，通过一些管道连接等，这些都会阻碍流体的流动，因此会产生压差，压差和流量相关
流阻和电阻的概念非常相似
理想压源
基本法则-质量守恒定律Conseration of Mass 有了基本元素，还需要基本法则把它们联系在一起，就像电路当中有基尔霍夫定律，在力学当中有牛顿定律一样，这里面我们用到的是质量守恒定律，容器内流体质量的变化
式子两边除以
容器底部受到的压力
其动态方程为
进口处为
由质量守恒定律
流阻压差
4.拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是控制理论的基础，它广泛的应用于工程分析当中，它可以把时域(
先从一个简单的电路系统开始，它的动态方程
定义系统的输入为
对时域函数
从上向下看就是复平面，做工程的往往会关注系统的极点和零点在复平面上的位置.
指数函数
拉普拉斯变换的重要性质：符合线性变换，线性变换符合叠加原理
正弦
两式相减：
因为拉普拉斯变换是一个线性变换：
导数的拉普拉斯变换：
复合函数求积分，用到分部积分：
同理可得
卷积的拉普拉斯变换 能够将卷积运算变成乘积运算，大大简化运算和分析的复杂程度。
回到最初的电路的动态方程：
两端作拉普拉斯变换：
可以看到，经过拉普拉斯变换把微分方程变换为代数方程，它只有加减乘除，非常的简单。下图方框称之为传递函数。
5.拉普拉斯变换的收敛域（ROC）与逆变换（ILT）
指数函数的拉普拉斯变换：
如果
加上限制条件，收敛域ROC（Region of lonvergence）,把
根据欧拉公式：
前面我们已经知道，拉普拉斯能简化运算和分析，为什么还需要微分方程？因为微分方程能够描述动态世界的数学手段。
在经典控制理论和现代控制理论当中，研究对象一般是常系数微分方程，对应的系统就是线性时不变系统，如果是非线性系统的话，一般会在平衡点附近作线性化处理，或者直接采用非线性分析手段。
用拉普拉斯变换求解微分方程的三个步骤：
- 时域转化到复频域
,这里用到拉普拉斯变换
- 求解代数方程
- 把结果从复频域转回时域，用到拉普拉斯逆变换
拉普拉斯逆变换
例子
两端拉普拉斯逆变换：
其中，根据欧拉公式有
(2)-(1)
6.拉&传&微的关系
重点讲解传递函数
这部分内容非常重要，对经典控制理论、根轨迹、伯德图、信号处理等学习都有很大的帮助，因为都是从这里伸展出去的。
流体系统
令A=1
两端作拉普拉斯变换：
假设系统的输入为常数，对常数作拉普拉斯变换
当时间
7.一阶系统的单位阶跃响应
流体系统
动态方程：
输出是一阶，输入是单位阶跃，称为一阶系统的单位阶跃响应 Unit Step Response.
一般形式：
两边作拉普拉斯逆变换：
a越大收敛越快。
时间常数 time constant
即
有时候还会引入另一个概念-稳定时间(Steady State)（整定时间）Setting time
对于一阶线性系统来说，时间常数是特有的，因此可以用时间常数作系统识别。
根据上一节有：
4秒钟达到稳定时间:
系统的传递函数：
一阶系统与信号处理
一阶系统是一个低通滤波器，低通滤波器只反映了低频变化，高频变化则被过滤了。对于流体系统来说，容器内的液体就起到了抵抗高速变化的作用，是因为它有积累，所以说有积累的都是低通滤波器，它对高速变化不敏感。最典型的积累就是积分，如：
高频变化被缩放100倍，相当于被过滤掉了。所以说大家平时多做积累，有了容量以后面对高速变化的世界才可以做到处乱不惊。
另一个角度
一阶线性时不变系统1st order LTI：
其他情况，
Phase-Portrait
8.频率响应与滤波器
信号通过线性时不变系统后频率不变
振幅响应 Magnitude Response：
辐角响应 Phase Response：
一般形式：
两边作拉普拉斯变换：
其中，
拉普拉斯逆变换：
对于稳定系统，
ss:Steady State 稳态，由上式可以看出频率响应就是稳态响应。求
复数表达：
欧拉公式：
非常非常的重要:
积分
例子：
9.一阶系统的频率响应
一阶系统：
当
当
当
所以一阶系统的频率响应是一个低通滤波
总结： 无论是室内空调系统、流体系统还是含电容器的电路系统，容器就是一个缓冲器，其本质是抑制高速变化。缓冲也会带来延迟。
Matlab 仿真
积分前后的对比
滤波信号后与原函数的对比 滤波信号延迟45°，振幅变为0.707左右
把纵轴改为
10.二阶系统对初始条件的动态响应
二阶系统无处不在,运动现象普遍是二阶系统，如牛顿第二定律
质量弹簧阻尼系统
阻尼和速度成正比，牛顿第二定律：
研究零初始条件，无外力的情况下：
将条件代入：
simulink
位置为5，速度为0
特征方程 Characteristic Equation:
过阻尼Over damped
- 临界阻尼Critial damped
比过阻尼收敛速度快一些
- 欠阻尼Under damped
其中
从
这是正弦函数，没有衰减
11.二阶系统的单位阶跃响应
弹簧质量阻尼系统
输入：
上一节用的是微分方程的通解和特解，这小节用拉普拉斯变换：
传递函数：
- 单位阶跃
极点
欠阻尼
因此是震荡衰减的。
Matlab 仿真
12.二阶系统的性能分析与比较
如何衡量系统的性能？
欠阻尼动态响应：
5%
分析手段和方法
- 计分规则：1分，2分，3分
雷达图
13.二阶系统频率响应分析
不同阻尼比的频率响应
振幅响应：
辐角响应：
用这个结论分析二阶系统
传递函数：
其中
振幅响应：
分析
，输入频率等于固有频率
因此在
当
这个频率称为系统的谐振振频率，
当输入频率等于谐振频率时：
时：
时：
时：
对于阻尼比比较小的系统来说，如果外力的频率在谐振频率（极值）附近，那么系统就会表现出强烈的振幅响应，不同的系统有不同的谐振频率，对外界刺激响应也就不同。
不同阻尼比的频率响应
14.伯德图
伯德图是表示频率响应的图示方法，频率响纵坐标改为
对于传递函数：
直接在命令窗口输入：
>> bode([1 2],[1 4])
dB decibel 分贝 dec 指十分之一，bel人名，分贝表示的是电话、电报的信号损失
加对数是为了把较大的数值降低，便于记录，如
振幅和功率为平方关系
积分
低频
截至频率
高频
例：
拆分
>> bode([0 1],[0 2])
>> bode([1/4 1],[0 1])
>> bode([0 1],[1/8 1])
>> bode([1 4],[1 8])
