当回归模型建立好以后，如何评价该回归模型是否与另一个回归模型有区别，如何比较两个回归模型的性能？这一讲中，我们将给大家介绍几个评价回归模型性能的统计指标。

1. 模型性能指标

在回归模型中，最常用的评估指标包括：

1. R平方（R2），它是预测变量能解释结果变量变异的百分比例，范围为0到1。 R2是观察到的实际结果与模型构建的预测值之间的相关系数的平方。R平方越高，模型越好。
2. 均方根误差（root mean squared error, RMSE），它测量的是模型预测的结果与实际观察结果间的平均误差。从数学上讲，RMSE是均方误差（mean squared error, MSE）的平方根，该均方根是观察到的实际值与模型预测的值之间的均方差。因此，MSE = mean((observeds - predicteds)^2)和RMSE = sqrt(MSE)。RMSE越低，模型越好。
3. 残差标准误／残留标准误差（residual standard error, RSE），也称为模型sigma(model sigma)，是针对模型中预测变量数量进行调整的RMSE。RSE越低，模型越好。实际上，RMSE和RSE之间的差异很小，尤其是对于多元数据(含有多个预测变量的模型)而言。
4. 像RMSE一样，平均绝对误差（mean absolute error, MAE）也可以测量预测误差。在数学上，它是观察到的结果与预测的结果之间的平均绝对差MAE = mean(abs(observeds - predicteds))。与RMSE相比，MAE对异常值的敏感性较低。
5. F统计量：它提供了模型的整体重要性。它评估至少一个预测变量是否具有非零系数。F统计量越大， 对应的统计显着性p值（p <0.05）越小。

上述性能指标都存在一个问题，即预测变量在解释结果上即便没有显着贡献，但当加入新的预测变量进模型时，也会对上述性能指标产生影响，这些性能指标对模型的变化是非常敏感的。即，在模型中包括新加的变量时，将始终增加R2并降低RMSE。

因此，我们需要一个更加稳定的指标来指导最佳模型的选择。

关于R2，有一个调整预测变量数的指标，称为调整后的R方（Adjusted R-squared），它有效地考虑了模型中的预测变量数量的不同，从而使各个模型可比较。

此外，还有其他四个重要指标- AIC，AICc，BIC和Mallows Cp –它们通常用于模型评估和选择，是MSE的无偏估计。这些指标数值越低，表示模型越好。

1. AIC（Akaike‘s Information Criteria）的基本思想是对模型中包含额外变量的行为进行惩罚。每当增加一个新变量时，它将增加一个惩罚值，从而达到控制额外预测变量的效果。AIC越低，模型越好。
2. AICc是AIC的变体版本，主要是针对小样本量进行了校正。
3. BIC（Bayesian information criteria）是AIC的另一种变体，它利用了贝叶斯原理，当模型中增加新的变量时，它将受到比AIC更大的惩罚。
4. Mallows Cp：是AIC的另一种变体，有Colin Mallows发明，因而称为Mallows Cp。

通常，用于测量回归模型性能，以及用于模型间的比较的最常用指标是：校正R方，AIC，BIC和Cp。

2. 加载所需的R包

• tidyverse 用于数据处理和可视化
• modelr 用于计算回归模型性能指标
• broom 轻松创建包含模型统计指标的整洁数据框（数据集）

library(tidyverse)
library(modelr)
library(broom)

3. 数据示例

我们将使用R的内置数据集swiss。

# 加载数据
library(datasets)
data("swiss")
# 查看数据（随机选取3行数据来查看）
sample_n(swiss, 3)
Fertility Agriculture Examination Education Catholic Infant.Mortality
1      77.3        89.7           5         2   100.00             18.3
2      76.1        35.3           9         7    90.57             26.6
3      83.1        45.1           6         9    84.84             22.2

研究问题：根据社会经济相关的多个指标（Agriculture，Examination，Education，Catholic，Infant.Mortality）预测生育力得分（Fertility）。

4. 建立回归模型

我们首先创建两个模型：

1. 模型1，包括所有预测变量（[.]表示数据swiss中所有出了结果变量Fertility外所有的变量）
2. 模型2，包括除变量Examination外的所有预测变量（[.-Examination]表示所有的变量，减去Examination）

model1 <- lm(Fertility ~., data = swiss)
model2 <- lm(Fertility ~. -Examination, data = swiss)

5. 评估模型性能

有许多用于评估模型质量的R函数和软件包，包括：

5.1 Stats软件包

• summary() [stats 软件包中]，返回R平方，调整后的R方和RSE
• AIC()和BIC()[stats 软件包中]，分别计算AIC和BIC

summary(model1)
AIC(model1)
BIC(model1)

5.2 modelr软件包

• rsquare()，rmse()和mae()[modelr软件包中]，分别计算R2，RMSE和MAE。

library(modelr)
data.frame(R2 = rsquare(model1, data = swiss),RMSE = rmse(model1, data = swiss),MAE = mae(model1, data = swiss)
)

5.3 caret软件包

• R2()，RMSE()并MAE()[caret软件包中]，分别计算R2，RMSE和MAE。

library(caret)
predictions <- model1 %>% 
predict(swiss)
data.frame(R2 = R2(predictions, swiss$Fertility),RMSE = RMSE(predictions, swiss$Fertility),MAE = MAE(predictions, swiss$Fertility)
)

5.4 broom软件包

• glance() [broom软件包中]，可以一次性计算所有的指标：R2，调整后的R方，sigma（RSE），AIC，BIC。

library(broom)
glance(model1)

5.5 手动计算

• 手动计算R2，RMSE和MAE：

swiss %>%add_predictions(model1) %>%summarise(R2 = cor(Fertility, pred)^2,MSE = mean((Fertility - pred)^2),RMSE = sqrt(MSE),MAE = mean(abs(Fertility - pred)))

6. 比较回归模型的性能

在这里，我们将使用该函数glance()来简单比较两个模型的整体质量：

# 计算model 1的各个参数
glance(model1) %>%dplyr::select(adj.r.squared, sigma, AIC, BIC, p.value)
##   adj.r.squared sigma AIC BIC  p.value
## 1         0.671  7.17 326 339 5.59e-10
# 计算model 2的各个参数
glance(model2) %>%dplyr::select(adj.r.squared, sigma, AIC, BIC, p.value)
##   adj.r.squared sigma AIC BIC  p.value
## 1         0.671  7.17 325 336 1.72e-10

从上面的输出中可以看出：

1. 这两个模型的调整后的R方（0.67）完全相同，这意味着它们在解释结果（此处为生育力得分Fertility）方面是等效的。此外，它们具有相同的残留标准误差（RSE或sigma = 7.17）。但是，模型2比模型1更简单，因为它包含更少的变量。在统计学中，有一个原则就是，如果简单跟复杂效果一样，永远默认简单模型更好。
2. 模型2的AIC和BIC低于模型1的AIC和BIC。在模型比较中，具有更低AIC和BIC分数的模型是首选。
3. 最后，模型2的统计p值低于模型1的统计p值。这意味着模型2在统计上比模型1显著性差异更大，这也与上述结论一致。

请注意，RMSE和RSE的度量单位与结果变量是相同的。将RSE除以结果变量的平均值将得到预测误差率，该误差率应尽可能小：

sigma(model1)/mean(swiss$Fertility)
## [1] 0.102

在我们的示例中，平均预测错误率是10％。

7. 总结

请注意，以上例子中，这些回归指标都是对内部数据性能进行评价。即，它们是根据用于构建回归模型的相同数据计算得出的。他们表示的是该模型与现有数据（训练数据集）的拟合程度，但并不衡量模型与新的测试数据集的拟合程度。

通常，我们并不十分在乎模型在训练数据上的效果如何。我们更在乎的是，我们建的模型对另一个完全独立的测试数据集的预测准确性。

但是，并不是每个研究都能找个一个或者多个相对独立的测试数据集，因此，我们有了交叉验证法和自举重采样（bootstrap-resampling）验证法来对该模型对测试数据集的预测准确性进行评估。

我们将在第四十二和四十三讲中进行解说。

参考内容：

1. Alboukadel Kassambara, Machine Learning Essentials: Practical Guide in R

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