[工学]7计算概论A A02 计算机的基本原理

《计算概论A》课程

计算机的基本原理

李李 戈戈

北京大学 信息科学技术学院 软件研究所

2011年9月9 日

图灵机的由来图灵机的由来

 第一次数学危机

– 现代意义下的数学来源于公元前现代意义下的数学来源于公元前500年左年左

右古希腊的毕达哥拉斯学派。他们认为

“万物皆数”，“一切数均可表成整数或

整数之比整数之比””是这是这一学派的数学信仰学派的数学信仰.

 “希帕索斯悖论”

– 毕达哥拉斯证明了毕达哥拉斯证明了勾股定理勾股定理，也同时发现也同时发现

了某些直角三角形的三边比不能用整数来

表达，也就是勾长或股长与弦长是不可通

约的。

 危机的缓解：

– 到十九世纪下半叶，实数理论建立后，无

理数本质被彻底搞清，无理数在数学中合

法地位的确立法地位的确立，才真正彻底才真正彻底、圆满地解决圆满地解决

了第一次数学危机。

图灵机的由来图灵机的由来

 第二次数学危机

– 十七世纪十七世纪，，牛顿牛顿与与莱布尼兹莱布尼兹各自独立发现各自独立发现

了微积分，但两人的理论都建立在无穷小

分析之上，而对基本概念无穷小量的理解

与运用却是混乱的与运用却是混乱的。

 “贝克莱悖论”

– 无穷小量在牛顿的理论中无穷小量在牛顿的理论中 “一会儿是零会儿是零，

一会儿又不是零”。贝克莱嘲笑无穷小量

是“已死量的幽灵”。

 危机的缓解危机的缓解：

– 19世纪末，柯西、魏尔斯特拉斯、戴德金、

康托尔康托尔各自经过独立的研究各自经过独立的研究，重建微积分重建微积分

学基础，都将分析基础归结为实数理论，

数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的

无矛盾性无矛盾性，使微积分学建立在牢固可靠的使微积分学建立在牢固可靠的

基础之上。

图灵机的由来图灵机的由来

 第三次数学危机

– 十九世纪下半叶，康托尔创立了著名

的集合论。数学家们发现，从自然数

与康托尔集合论出发可建立起整个数

学大厦。

– 集合论成为现代数学的基石。“一切

数学成果可建立在集合论基础上”.

– 1900年，国际数学家大会上，法国著

名数学家名数学家庞加莱庞加莱就曾兴高采烈地宣称就曾兴高采烈地宣称：：

“…借助集合论概念，我们可以建造

整个数学大厦…今天，我们可以说绝

对的对的严格性已格性 经达到达到了…”

图灵机的由来图灵机的由来

 “罗素悖论”

– 在塞尔维亚有在塞尔维亚有一位理发师位理发师，他宣称他宣称：他他

只给所有不给自己理发的人理发，不给

那些给自己理发的人理发。可是当他自

己要理发时要理发时，却陷入了尴尬境地却陷入了尴尬境地。

– 若他不给自己理发，根据他的第一个条

件件，，则应该给自己理发则应该给自己理发；；若给自己理发若给自己理发，，

根据他第二个条件，他不该给自己理发。

总之，无论理不理发，都违背了自己的 罗 素

诺言诺言。

德国数学家、逻辑学家弗雷格：

– S由一切不是自身元素的集合所组成。

然后罗素问：S是否属于S呢？如果S属