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0x0. 问题引入

Linear Attention的论文如下： Transformers are RNNs:
Fast Autoregressive Transformers with Linear Attention：https://arxiv.org/pdf/2006.16236.pdf 。官方给出实现代码地址：https://github.com/idiap/fast-transformers 。虽然这个仓库是Linear Attention的原始实现，但基于这个codebase也引出了后续的一系列线性Attention的工作比如：Efficient Attention: Attention with Linear Complexities（https://arxiv.org/abs/1812.01243），Linformer: Self-Attention with Linear Complexity（https://arxiv.org/abs/2006.04768），Reformer: The Efficient Transformer（https://arxiv.org/abs/2001.04451）等等。

这篇文章是对Linear Attention的forward cuda kernel进行解析，在此之前我先基于论文的3.2节对Linear Attention做一个复述，明确这里要计算的是什么。

Linear Attention的目的是将 Self Attention 的平方根序列长度级别复杂度降低为线性的复杂度。假设Attention模块的输入为$x$，它的shape为$[N,F]$，其中$N$表示序列长度，$F$表示的是embedding的维度。对于常见的SelfAttention来说，它的计算过程表示为：

其中矩阵Q、K、V是由输入$x$经线性变化得到的。如果用下标$i$来表示矩阵的第$i$行，那么可以将公式（2）中的计算用如下形式抽象出来：

其中sim() 为抽象出的计算Query和Key相似度的函数。在常规的Transformer中，sim()定义为上面的$exp(\frac{q^{T}k}{\sqrt{D}})$。

接着，我们可以将sim()定义为任何我们希望的形式。上述定义过程中对sim()唯一的约束是它需要非负。Linear Transformer采用了kernel来定义上面公式（3）中的sim，这就引出了公式4：

然后在Linear Attention里面$\varphi$被定义为$\varphi (x)=elu(x)+1$ 。注意上式中求和项与$i$无关，因此可以把与$i$有关的项提到前面，可以推出公式（5）：

可以想到我们在遍历Q的时候，由于求和项和$i$无关，所以可以提前把右边的求和项计算出来，所以整体的复杂度和序列长度是线性关系而非平方。对应了论文的这部分解释：

上面介绍的是Encoder部分的Linear Attention工作原理，而本篇文章解析的就是使用cuda如何计算和优化上面的公式（5）。

0x1. 接口介绍

我们先从这个naive的Linear Attention实现入手，摸清代码实现和上面介绍的公式5的对应关系。 https://github.com/idiap/fast-transformers/blob/master/fast_transformers/attention/linear_attention.py ，这个实现很短，逐行解释一下。

from ..attention_registry import AttentionRegistry, Optional, Callable, Int, \EventDispatcherInstance
from ..events import EventDispatcher
from ..feature_maps import elu_feature_map # 这就是论文提到的elu(x)+1class LinearAttention(Module):"""实现了未经掩码处理的注意力机制，使用特征映射的点积，在 O(N D^2) 的复杂度下进行计算。给定query、key和value分别为 Q、K、V，我们不是计算V' = softmax(Q.mm(K.t()), dim=-1).mm(V),而是利用一个特征映射函数 Φ(.)，执行以下计算V' = normalize(Φ(Q).mm(Φ(K).t())).mm(V).上述计算可以在 O(N D^2) 的复杂度下完成，其中 D 是 Q、K 和 V 的维度，N 是序列长度。然而，根据特征映射的不同，注意力的复杂度可能会受到限制。Arguments---------feature_map: callable, 一个可调用的函数，用于对张量最后一个维度应用特征映射（默认为 elu(x)+1）eps: float, 一个小数，用于确保分母的数值稳定性（默认为 1e-6）event_dispatcher: str 或 EventDispatcher 实例，用于此模块进行事件派发的实例（默认为默认的全局调度器）"""def __init__(self, query_dimensions, feature_map=None, eps=1e-6,event_dispatcher=""):super(LinearAttention, self).__init__()self.feature_map = (feature_map(query_dimensions) if feature_map elseelu_feature_map(query_dimensions))self.eps = epsself.event_dispatcher = EventDispatcher.get(event_dispatcher)def forward(self, queries, keys, values, attn_mask, query_lengths,key_lengths):# 对查询（Q）和键（K）应用特征映射。self.feature_map.new_feature_map(queries.device)Q = self.feature_map.forward_queries(queries)K = self.feature_map.forward_keys(keys)# 检查并确保 attn_mask 是全部为一的，这表明这种注意力不支持任意的注意力掩码。if not attn_mask.all_ones:raise RuntimeError(("LinearAttention does not support arbitrary ""attention masks"))K = K * key_lengths.float_matrix[:, :, None, None]# 计算键和值的点积（KV 矩阵），以此减少计算复杂度。KV = torch.einsum("nshd,nshm->nhmd", K, values)# 计算归一化因子（Z）。Z = 1/(torch.einsum("nlhd,nhd->nlh", Q, K.sum(dim=1))+self.eps)# 最后，使用 torch.einsum 计算并返回新的值（V）V = torch.einsum("nlhd,nhmd,nlh->nlhm", Q, KV, Z)return V.contiguous()

注意，K = K * key_lengths.float_matrix[:, :, None, None] 这行代码是用于在注意力机制的计算中“掩蔽”掉那些序列中的无效或填充部分，确保模型只关注有效的数据部分。这里的key_length表示的是序列中每个元素是否有效，比如在处理具有不同长度的序列时（如在自然语言处理中），较短的序列可能会被 padding 以匹配最长序列的长度。key_lengths 就是用来标识这些 padding 位置的。.float_matrix是将key_lengths转换为浮点数矩阵的操作。[:, :, None, None]这是一个切片操作，用于添加两个额外的维度，用于确保两个张量在进行elementwise乘法之前具有相同的shape。此外，forward的过程中存在爱因斯坦求和表达式，前面2个比较好理解，V = torch.einsum("nlhd,nhmd,nlh->nlhm", Q, KV, Z)这行代码的"nlhd,nhmd,nlh->nlhm"表示的过程为：

• Q 的 d 维度和 KV 的 d 维度会相乘。
• d 维度就会被求和，因为它没有出现在 “nlhm” 中。
• 结果会被重新组织成输出格式 “nlhm” 指定的形状。

这里的代码也就对应着 V’ = normalize(Φ(Q).mm(Φ(K).t())).mm(V) 这个公式。

综上，这里实现的是没有mask的Linear Attention，但目前在主流的解码器架构上进行训练需要的是带因果关系mask的Attention，所以自然也需要一个CausalLinearAttention的实现，而本文要解析的cuda kernel也正是在这个模块引入的。源码见：https://github.com/idiap/fast-transformers/blob/master/fast_transformers/attention/causal_linear_attention.py 。

# 这个函数实现了因果线性注意力的核心计算。它首先调整输入张量 Q、K 和 V的维度，
# 然后应用 causal_dot_product 函数计算新的值张量 V_new。
def causal_linear(Q, K, V):Q = Q.permute(0,2,1,3).contiguous()K = K.permute(0,2,1,3).contiguous()V = V.permute(0,2,1,3).contiguous()V_new = causal_dot_product(Q, K, V)return V_new.permute(0,2,1,3).contiguous()class CausalLinearAttention(Module):"""实现因果掩码注意力机制，使用特征映射的点积在 O(N D^2) 复杂度下进行计算。有关用特征映射替换 softmax 的一般概念，请参阅 fast_transformers.attention.linear_attention.LinearAttention。除此之外，我们还利用了因果掩码是三角形掩码的事实，这允许我们在保持 O(N D^2) 复杂度的同时应用掩码并计算注意力。Arguments---------feature_map: callable, 一个可调用的函数，用于对张量最后一个维度应用特征映射（默认为 elu(x)+1）eps: float, 一个小数，用于确保分母的数值稳定性（默认为 1e-6）event_dispatcher: str 或 EventDispatcher 实例，用于此模块进行事件派发的实例（默认为默认的全局调度器）"""def __init__(self, query_dimensions, feature_map=None, eps=1e-6,event_dispatcher=""):super(CausalLinearAttention, self).__init__()self.feature_map = (feature_map(query_dimensions) if feature_map elseelu_feature_map(query_dimensions))self.eps = epsself.event_dispatcher = EventDispatcher.get(event_dispatcher)# 这个私有方法用于确保 Q 和 K 张量的大小兼容，通过对 K 进行切片或填充以匹配 Q 的大小。def _make_sizes_compatible(self, Q, K):"""Either slice or pad K in case that the sizes do not match between Qand K."""N, L, H, E = Q.shape_, S, _, _ = K.shapeif L == S:return Q, Kif L < S:return Q, K[:, :L, :, :]if L > S:return Q, torch.cat([K, K.new_zeros(N, L-S, H, E)], dim=1)def forward(self, queries, keys, values, attn_mask, query_lengths,key_lengths):# 对query和key应用特征映射。self.feature_map.new_feature_map(queries.device)Q = self.feature_map.forward_queries(queries)K = self.feature_map.forward_keys(keys)# 检查 attn_mask 是否为下三角因果掩码，并应用键长度掩码。if not attn_mask.lower_triangular:raise RuntimeError(("CausalLinearAttention only supports full ""lower triangular masks"))K = K * key_lengths.float_matrix[:, :, None, None]# 确保query和key的大小（长度）兼容。Q, K = self._make_sizes_compatible(Q, K)# TODO: Shall we divide the Q and K with a relatively large number to#       avoid numerical instabilities in computing the denominator?#       We used to divide each with the max norm of all q and k but#       that seems relatively costly for a simple normalization.# Compute the normalizersZ = 1/(torch.einsum("nlhi,nlhi->nlh", Q, K.cumsum(1)) + self.eps)# Compute the unnormalized resultV = causal_linear(Q,K,values)return V * Z[:, :, :, None]

和full mask的Linear Attention的主要区别就是现在的mask是下三角的，以及 causal_dot_product 这个函数的应用。我们可以从LinearAttention的forward过程推出 causal_dot_product 完成的其实是下面的计算过程：V’ = Φ(Q).mm(Φ(K).t()).mm(V)

0x2. CPU实现

先看一下causal_dot_product的cpu实现，确定它的计算逻辑和上面的结论一致。 https://github.com/idiap/fast-transformers/blob/master/fast_transformers/causal_product/causal_product_cpu.cpp#L10-L125 。下面是一些关键的解释。

// 这个函数计算两个向量 a 和 b 的外积（a 和 b 的转置的点积）并将结果保存在 out 中。
// a 是一个长度为 A 的向量，b 是一个长度为 B 的向量。
// 外积的结果是一个 AxB 的矩阵。
inline void vvt_dot(float *a, float *b, float *out, int A, int B) {for (int i=0; i<A; i++) {float * bi = b;for (int j=0; j<B; j++) {*out += (*a) * (*bi);out++;bi++;}a++;}
}// 这个函数实现了向量 v 和矩阵 m 的乘积，并将结果保存在 out 中。
// v 是一个长度为 A 的向量，m 是一个 AxB 的矩阵。
// 结果是一个长度为 B 的向量。
inline void vm_dot(float *v, float *m, float *out, int A, int B) {// TODO: Consider removing the zeroing part and assuming out already//       contains 0sfor (int i=0; i<B; i++) {out[i] = 0;}for (int i=0; i<A; i++) {float *oi = out;for (int j=0; j<B; j++) {*oi += (*v) * (*m);oi++;m++;}v++;}
}// 这个函数计算向量 v 和矩阵 m 转置的乘积，并将结果保存在 out 中。
// v 是一个长度为 B 的向量，m 是一个 AxB 的矩阵。
// 结果是一个长度为 A 的向量。
inline void vmt_dot(float *v, float *m, float *out, int A, int B) {for (int i=0; i<A; i++) {float *vi = v;float s = 0;for (int j=0; j<B; j++) {s += (*vi) * (*m);vi++;m++;}// TODO: Should we be aggregating? See the comment on vm_dot.*out = s;out++;}
}// 这个函数计算查询（queries）、键（keys）和值（values）的因果掩码点积。
// N、H、L 和 E 分别代表 batch 大小、头数、序列长度和特征维度。M 是value的特征维度。
// 计算公式为：V_j' = (Q_{0:j} * K_{0:j}^T) * V_{0:j}
void causal_dot_product(const torch::Tensor queries,const torch::Tensor keys,const torch::Tensor values,torch::Tensor product
) {// Extract some shapesint N = queries.size(0);int H = queries.size(1);int L = queries.size(2);int E = queries.size(3);int M = values.size(3);// Create accessors for all the argumentsauto qa = queries.accessor<float, 4>();auto ka = keys.accessor<float, 4>();auto va = values.accessor<float, 4>();auto pa = product.accessor<float, 4>();// 使用 OpenMP 实现并行计算，增加计算效率。#pragma omp parallel for collapse(2)for (int n=0; n<N; n++) {for (int h=0; h<H; h++) {auto kv = torch::zeros({E, M}, queries.options());float *kvp = kv.data_ptr<float>();for (int l=0; l<L; l++) {// 该函数首先计算 K 和 V 的外积（vvt_dot），然后计算 Q 和这个外积的结果（vm_dot）。vvt_dot(&ka[n][h][l][0],&va[n][h][l][0],kvp,E,M);vm_dot(&qa[n][h][l][0],kvp,&pa[n][h][l][0],E,M);}}}
}

可以清晰的看到这里的计算过程就是 $V_j^{\prime }=(Q_{0:j}\ast K_{0:j}^T)\ast V_{0:j}$ ，也就是先计算 K 和 V 的外积（vvt_dot），然后计算 Q 和这个外积的结果（vm_dot）。为了更高效，还使用了openmp做并行计算。

0x3. CUDA实现

cuda实现在 https://github.com/idiap/fast-transformers/blob/master/fast_transformers/causal_product/causal_product_cuda.cu 。

Fallback 的 causal_dot_product_kernel

由于整个kernel的行数有点多，这里先只关注forward的kernel，我去掉了大部分的backward的kernel，精简后的代码放在这里：https://github.com/BBuf/how-to-optim-algorithm-in-cuda/blob/master/linear-attention/causal_product_cuda.cu 。

首先来到kernel的入口：

void causal_dot_product(const torch::Tensor queries,const torch::Tensor keys,const torch::Tensor values,torch::Tensor product) {
#ifdef ENABLE_NVIDIA_OPTIMIZATIONSint fallback = nvidia::lmha_fwd(queries, keys, values, product);
#elseint fallback = 1;
#endifif( fallback ) {causal_dot_product_(queries, keys, values, product);}
}PYBIND11_MODULE(TORCH_EXTENSION_NAME, m) {m.def("causal_dot_product",&causal_dot_product,"Compute the weighted sum of values but attending only to previous ""values.");
}

这里值得注意的地方就是如果开启了ENABLE_NVIDIA_OPTIMIZATIONS才会走优化实现，否则会fallback到causal_dot_product_这个kernel，我们看一下causal_dot_product_ kernel的实现。

typedef torch::PackedTensorAccessor32<float, 4, torch::RestrictPtrTraits> float_accessor;#define E_BLOCK_SIZE 8__global__ void causal_dot_product_kernel(const float_accessor queries,const float_accessor keys,const float_accessor values,float_accessor result,const int N,const int H,const int L,const int E,const int M
) {int n = blockIdx.y; // 确定 batch 所在的idint h = blockIdx.z; // 确定 attention 所在的头的idint e_start = blockIdx.x * E_BLOCK_SIZE; // 确定query的特征维度的开始位置int m = threadIdx.x % M; // 确定 value 的特征维度 idextern __shared__ float shared_mem[]; // 使用共享内存 (shared_mem) 来临时存储 key 和 value 的乘积。float* shared_kv = shared_mem;// 共享内存的初始化for (int e_local = 0; e_local < E_BLOCK_SIZE && e_local + e_start < E; e_local++) {shared_kv[m + e_local * M] = 0;}for (int t=0; t<L; t++) {// 对于每个 query 元素，计算与 key 的点积，结果累加到 result 张量中。float res = 0;for (int e_local = 0; e_local < E_BLOCK_SIZE && e_local + e_start < E; e_local++) {shared_kv[e_local*M + m] += keys[n][h][t][e_local + e_start] * values[n][h][t][m];res += queries[n][h][t][e_local + e_start] * shared_kv[e_local*M + m];}atomicAdd(&result[n][h][t][m],res);}
}//  queries, keys, values 这些都是shape为 [N, H, L, E] 的四维Tensor，通过 float_accessor 访问数据。
void causal_dot_product_(const torch::Tensor queries,const torch::Tensor keys,const torch::Tensor values,torch::Tensor product) {// 确保使用正确的gpu设置。torch::DeviceGuard _guard(queries.device());// N、H、L 和 E 分别代表 batch 大小、头数、序列长度和特征维度。M 是value的特征维度。int N = queries.size(0);int H = queries.size(1);int L = queries.size(2);int E = queries.size(3);int M = values.size(3);// 每个Block处理E_BLOCK_SIZE（=8）个隐藏层的元素// 一共需要blocks_per_sequence这么多个Block来进行处理// 注意：这里的blocks_per_sequence还要乘以N和H才是真正的Block个数const int blocks_per_sequence = (E + E_BLOCK_SIZE - 1) / E_BLOCK_SIZE;// 每个Block固定有M个线程dim3 blockDim(M, 1, 1);dim3 gridDim(blocks_per_sequence, N, H);// 每个Block固定使用 E_BLOCK_SIZE（=8）* M个float这么大的shmconst int shared_mem_forward = E_BLOCK_SIZE * M * sizeof(float);causal_dot_product_kernel<<<gridDim, blockDim, shared_mem_forward>>>(queries.packed_accessor32<float, 4, torch::RestrictPtrTraits>(),keys.packed_accessor32<float, 4, torch::RestrictPtrTraits>(),values.packed_accessor32<float, 4, torch::RestrictPtrTraits>(),product.packed_accessor32<float, 4, torch::RestrictPtrTraits>(),N, H, L, E, M);
}

总的来说，这个kernel使用了(E + E_BLOCK_SIZE - 1) / E_BLOCK_SIZE * N * H个Block，并且每个Block里面有M个线程，并且每个Block里面开了一个长度为E_BLOCK_SIZE * M的共享内存来存储当前Block计算出来的KV乘积。

可以这么来想，如果共享内存足够大，那么我们完全可以每个Block处理完一行Q和一行V的计算，也就是E和M做外积得到E*M的矩阵，但是实际上每个Block可以使用的共享内存是有限的，所以在保证线程数为M的情况下，我们每次只能处理一部分的Q，这里就是E_BLOCK_SIZE个，然后处理之后我们要使用atomic_add进行累加，这样才可以保证结果的正确性。

当然，使用了原子加，性能自然会下降，这是考虑共享内存大小和线程数的一个折中，此外虽然key和value的中间结果被存储到了共享内存，但对query的访问依然是走的global memory。接下来我们将看到新的kernel是如何一一解决这些问题。

更优的 lmha_fwd kernel（shared memory+double buffering+free atomic add+pack）

接下来就逐步解析一下lmha_fwd kernel。首先是kernel的dispatch逻辑：

// 此函数的目的是初始化和设置 Lmha_params<T> 结构体的参数，这些参数用于后续的线性多头自注意力操作。
template< typename T >
inline void set_params(Lmha_params<T> &params,const torch::Tensor q,const torch::Tensor k,const torch::Tensor v,torch::Tensor       o) {// Define the pointers.// 使用 .data_ptr<T>() 方法获取张量的指针，并将其分配给 params 结构体的对应成员。params.out = o.data_ptr<T>();params.q   = q.data_ptr<T>();params.k   = k.data_ptr<T>();params.v   = v.data_ptr<T>();// Define the strides.// 使用 .stride() 方法获取张量各维度的步长，并存储在 params 结构体中。params.q_stride_B = (int) q.stride(0);params.q_stride_H = (int) q.stride(1);params.q_stride_L = (int) q.stride(2);params.k_stride_B = (int) k.stride(0);params.k_stride_H = (int) k.stride(1);params.k_stride_L = (int) k.stride(2);params.v_stride_B = (int) v.stride(0);params.v_stride_H = (int) v.stride(1);params.v_stride_L = (int) v.stride(2);params.o_stride_B = (int) o.stride(0);params.o_stride_H = (int) o.stride(1);params.o_stride_L = (int) o.stride(2);// 从query张量 q 中提取出维度信息（如批量大小 N、头数 H、序列长度 L 和特征维度 E）并设置到 params 结构体中。int N = q.size(0);int H = q.size(1);int L = q.size(2);int E = q.size(3);int M = v.size(3);params.B = N;params.L = L;params.H  = H;params.E = E;params.M = M;
}int lmha_fwd(const torch::Tensor queries,const torch::Tensor keys,const torch::Tensor values,torch::Tensor product) {// Make sure that we are using the correct GPU devicetorch::DeviceGuard _guard(queries.device());// Make sure the inner-most dimension of the tensors is packed.// 使用 assert 语句检查张量的最内层维度（即特征维度）是否是packed的assert(queries.stride(3) == 1);assert(keys   .stride(3) == 1);assert(values .stride(3) == 1);assert(product.stride(3) == 1);// 提取张量的维度信息，如批量大小、头数、序列长度等。int N = queries.size(0);int H = queries.size(1);int L = queries.size(2);int E = queries.size(3);int M = values.size (3);// The structure of params.Lmha_params<float> params;// 调用 set_params 函数来初始化 Lmha_params<float> 结构体。set_params(params, queries, keys, values, product);// 调用 lmha<false>(params) 函数来执行实际的线性多头自注意力计算。这里 lmha<false> 表示特定的模板实例化。return lmha<false>(params);
}

这段代码主要是做了一些预处理工作也就是设置Lmha_params对象，然后调用lmha<false>这个函数来执行线性多头自注意力计算，这里的fasle意思是这里执行的是forward计算。另外需要注意的是，虽然这里命名是线性多头自注意力，但实际上计算的东西还是上面讲的causal_dot_product。

接下来看一下 lmha 这个模板函数的实现。

// GO_BACKWARD: 一个布尔类型的模板参数，用于指示是进行前向计算还是反向计算。
template< bool GO_BACKWARD >
int lmha(const Lmha_params<float> &params) {int blocks = params.B * params.H; // blocks表示GPU的block数量？int res = 1;if( blocks < LOW_OCCUPANCY_THRESHOLD ) { if( params.E <=  32 ) {res = lmha_low_occupancy_< 32, GO_BACKWARD>(params, blocks);} else if( params.E <=  64 ) {res = lmha_low_occupancy_< 64, GO_BACKWARD>(params, blocks);} else if( params.E <= 128 ) {res = lmha_low_occupancy_<128, GO_BACKWARD>(params, blocks);} else if( params.E <= 256 ) {res = lmha_low_occupancy_<256, GO_BACKWARD>(params, blocks);}} else {if( params.E <=  32 ) {res = lmha_< 32, 1, GO_BACKWARD>(params);} else if( params.E <=  48 ) {res = lmha_< 48, 1, GO_BACKWARD>(params);} else if( params.E <=  64 ) {res = lmha_< 64, 1, GO_BACKWARD>(params);} else if( params.E <= 128 ) {res = lmha_<128, 2, GO_BACKWARD>(params);} else if( params.E <= 256 ) {res = lmha_<256, 4, GO_BACKWARD>(params);}}return res;
}

可以看到如果blocks（batch 和 注意力头的乘积 params.B * params.H）小于LOW_OCCUPANCY_THRESHOLD（=40）的时候，走的是lmha_low_occupancy_这个kernel的实现，否则就会走到lmha_的实现。另外，还会根据 query 的特征维度的大小 E 来设置kernel不同的模板参数。先来看一下lmha_这个常规一些的实现：

// 确定lmha kernel需要的共享内存大小
template< int E, typename Params >
static inline __device__ __host__ int smem_buffer_elts_(const Params &params) {int M = round_up(params.M, 4);return 2*E + 2*M;
}// E: 代表特征维度的大小。
// THREADS_PER_HEAD: 每个 attention 头分配的线程数。
// GO_BACKWARD: 布尔类型的模板参数，指示是进行前向计算还是反向传播。
template< int E, int THREADS_PER_HEAD, bool GO_BACKWARD >
int lmha_(const Lmha_params<float> &params) {// 调整 M 维度: M 是 params.M 的调整值，向上取整到最接近的 4 的倍数。这种调整可能是出于内存对齐或性能优化的考虑。int M = round_up(params.M, 4);// 计算 CUDA kernel中每个block的线程数。这个数是 E 和 M*THREADS_PER_HEAD 的最大值向上取整到最接近的 32 的倍数。int block = round_up(max(E, M*THREADS_PER_HEAD), 32);// 如果计算出的块大小超过 512，或者批量大小 (params.B) 超过 65535，则返回 1。// 这种情况表示配置不适合有效执行。if( block > 512 || params.B > 65535 ) {return 1;}// grid: 定义了 CUDA 核函数的网格大小，它是由头数 (params.H) 和批量大小 (params.B) 组成的二维网格。dim3 grid(params.H, params.B);// smem: 计算共享内存的大小，基于函数 smem_buffer_elts_<E> 的返回值，它根据特征维度 E 来确定共享内存的元素数量。size_t smem = smem_buffer_elts_<E>(params)*2*sizeof(float);// 使用 CUDA 的 <<<grid, block, smem>>> 语法调用 lmha_kernel 核函数，这个函数实际上执行线性多头自注意力的计算工作。lmha_kernel<E, THREADS_PER_HEAD, GO_BACKWARD><<<grid, block, smem>>>(params);return 0;
}

可以看到这个 kernel 将会启动H*B个Block，每个Block里面的线程数由 E 以及 M*THREADS_PER_HEAD 共同决定。注意，E 是 query 的隐藏层大小，而 M 是 value 的隐藏层大小。此外，还通过smem_buffer_elts_函数确定了这个kernel需要的共享内存大小，这个函数里面的2*表示的是double buffering。

接下来就是最关键的 lmha_kernel 的实现了，阅读之前还是要先想着我们要计算的东西是 $V_j^{\prime }=(Q_{0:j}\ast K_{0:j}^T)\ast V_{0:j}$ ，也就是先计算 K 和 V 的外积（vvt_dot），然后计算 Q 和这个外积的结果（vm_dot）。

// 确定lmha kernel需要的共享内存大小
template< int E, typename Params >
static inline __device__ __host__ int smem_buffer_elts_(const Params &params) {int M = round_up(params.M, 4);return 2*E + 2*M;
}// E: 特征维度的大小。
// THREADS_PER_HEAD: 每个 attention 头分配的线程数。
// GO_BACKWARD: 布尔类型的模板参数，指示是进行前向计算还是反向传播。
// params: Lmha_params<float> 类型的结构体，包含多头自注意力所需的各种参数。
template< int E, int THREADS_PER_HEAD, bool GO_BACKWARD >
__global__ 
void lmha_kernel(Lmha_params<float> params) {// Make sure E is a multiple of 4.static_assert(E % 4 == 0, "");// The amount of shared memory per buffer (2 buffers for double-buffering).const int smem_buffer_elts = smem_buffer_elts_<E>(params);// The M dimension for shared memory.const int M = round_up(params.M, 4);// Shared memory to store Q, K and V. Size is 2*smem_buffer_elts.// 分配共享内存用于存储 Q、K、V（query、key、value）。// 注意上面的smem_buffer_elts是 (2E + 2M)extern __shared__ float smem_[];// The various shared memory buffers.float *smem_q = &smem_[0*E];float *smem_k = &smem_[1*E];float *smem_v = &smem_[2*E];float *smem_o = &smem_[2*E + M];// The index of the shared memory buffer (for double-buffering).// 使用 smem_curr 管理双缓冲区策略，以平滑地在不同迭代间交换共享内存。int smem_curr = 0;// 确定处理的序列（bi）和头（hi）。const int bi = blockIdx.y;const int hi = blockIdx.x;// 线程的idconst int tidx = threadIdx.x;// 根据线程索引（tidx）和 params 中的 stride 计算 Q、K、的偏移量// The offset to the position loaded by the thread in Q.int offset_q = bi*params.q_stride_B + hi*params.q_stride_H + tidx;// The offset to the position loaded by the thread in K.int offset_k = bi*params.k_stride_B + hi*params.k_stride_H + tidx;// Determine the base pointers for Q and K.const float *ptr_q = &params.q[offset_q];const float *ptr_k = &params.k[offset_k];// 根据线程索引（tidx）和 params 中的 stride 计算 V、O 的偏移量int offset_v = bi*params.v_stride_B + hi*params.v_stride_H + tidx;int offset_o = bi*params.o_stride_B + hi*params.o_stride_H + tidx;// Determine the base pointers for V.const float *ptr_v = &params.v[offset_v];// 通过tidx是否在E的范围内判断当前线程是否是处理Q 和 K的线程const int active_qk = tidx < params.E;// 对于处理 Q 和 K 的线程，从全局内存加载数据。float ldg_q = 0.f, ldg_k = 0.f;if( active_qk ) {ldg_q = *ptr_q;ldg_k = *ptr_k;}// Is it an active V thread?// 同样判断当前线程是否是处理V的活跃线程const int active_v = tidx < params.M;// 对于处理V的线程，从全局内存加载数据float ldg_v = 0.f;if( active_v ) {ldg_v = *ptr_v;}// Move the load pointers.// 这里的stride_L实际上就是在E和M的维度上进行整体移动if( GO_BACKWARD ) {ptr_q -= params.q_stride_L;ptr_k -= params.k_stride_L;ptr_v -= params.v_stride_L;} else {ptr_q += params.q_stride_L;ptr_k += params.k_stride_L;ptr_v += params.v_stride_L;}// 每个注意力头的 float4 元素数量constexpr int FLOAT4s_PER_HEAD = E / 4;// 每个线程处理的 float4 元素数量。constexpr int FLOAT4s_PER_THREAD = FLOAT4s_PER_HEAD / THREADS_PER_HEAD;// 使用 float4 类型数组 kv 来存储 K 和 V 的乘积。FLOAT4s_PER_THREAD 是每个线程处理的 float4 元素数量。float4 kv[FLOAT4s_PER_THREAD]; #pragma unrollfor( int ii = 0; ii < FLOAT4s_PER_THREAD; ++ii ) {kv[ii] = make_float4(0.f, 0.f, 0.f, 0.f);}// 输出的指针位置float *out_ptr = &params.out[offset_o];// 把q和k存储到shared memoryif( tidx < E ) { smem_q[smem_curr*smem_buffer_elts + tidx] = ldg_q; smem_k[smem_curr*smem_buffer_elts + tidx] = ldg_k; }// 把v也存储到shared memoryif( tidx < M ) {smem_v[smem_curr*smem_buffer_elts + tidx] = ldg_v;}// 计算每个线程在 V 维度上的位置，用于后续操作。int vo = tidx / THREADS_PER_HEAD;int vi = tidx % THREADS_PER_HEAD;// 遍历每一个时间步（params.L），进行线性多头自注意力计算。//（回想一下，输入Tensor的形状是 N H L E/M）for( int ti = 0; ti < params.L; ++ti ) {// 判断当前迭代是否为最后一次迭代。int is_last = ti == params.L - 1;// 如果不是最后一次迭代且当前线程用于处理 Q 或 K，那么从全局内存加载 Q 和 K 的下一个值。if( !is_last && active_qk ) {ldg_q = *ptr_q;ldg_k = *ptr_k;}// 同样，如果不是最后一次迭代且当前线程用于处理 V，那么从全局内存加载 V 的下一个值。if( !is_last && active_v ) {ldg_v = *ptr_v;}// 根据 GO_BACKWARD 标志，移动 Q、K 和 V 的指针，以便加载下一组数据。if( GO_BACKWARD ) {ptr_q -= params.q_stride_L;ptr_k -= params.k_stride_L;ptr_v -= params.v_stride_L;} else {ptr_q += params.q_stride_L;ptr_k += params.k_stride_L;ptr_v += params.v_stride_L;}// 使用 __syncthreads() 来同步线程，确保所有数据都已经加载到共享内存中。__syncthreads();// 每个线程从共享内存中加载 K 的值。使用 float4 来提高数据访问的效率。float4 k[FLOAT4s_PER_THREAD];#pragma unrollfor( int ii = 0; ii < FLOAT4s_PER_THREAD; ++ii ) {int ki = tidx % THREADS_PER_HEAD * 4 + ii * THREADS_PER_HEAD * 4;k[ii] = *reinterpret_cast<const float4*>(&smem_k[smem_curr*smem_buffer_elts + ki]);}// 每个线程加载单个 V 的值。float v = 0.f;if( vo < params.M ) {v = *reinterpret_cast<const float *>(&smem_v[smem_curr*smem_buffer_elts + vo]);}// 计算 K*V^T#pragma unrollfor( int ii = 0; ii < FLOAT4s_PER_THREAD; ++ii ) {kv[ii].x += k[ii].x * v;kv[ii].y += k[ii].y * v;kv[ii].z += k[ii].z * v;kv[ii].w += k[ii].w * v;}// 类似地，从共享内存中加载 Q 的值。float4 q[FLOAT4s_PER_THREAD]; #pragma unrollfor( int ii = 0; ii < FLOAT4s_PER_THREAD; ++ii ) {int qi = tidx % THREADS_PER_HEAD * 4 + ii * THREADS_PER_HEAD * 4;q[ii] = *reinterpret_cast<const float4*>(&smem_q[smem_curr*smem_buffer_elts + qi]);}// 使用 Q 和 K*V^T 的乘积来计算每个线程的部分输出值。float sum = 0.f;#pragma unrollfor( int ii = 0; ii < FLOAT4s_PER_THREAD; ++ii ) {sum += q[ii].x * kv[ii].x;sum += q[ii].y * kv[ii].y;sum += q[ii].z * kv[ii].z;sum += q[ii].w * kv[ii].w;}// 当每个注意力头有多于一个线程时，需要汇总这些线程的计算结果。if( THREADS_PER_HEAD > 1 ) {// 使用 __shfl_xor_sync 函数进行汇总。这个函数能够在 warp 内部的所有线程间高效地交换数据。// 通过这种方式，线程可以获取并累加其他线程的 sum 变量。// mask 用于指定参与交换的线程。每次迭代，mask 减半，意味着交换的范围越来越小，最终实现全局汇总。#pragma unrollfor( int mask = THREADS_PER_HEAD / 2; mask >= 1; mask /= 2 ) {sum += __shfl_xor_sync(uint32_t(-1), sum, mask);}// 如果当前线程对应的 V 维度索引 vo 小于 M 且在其头内的索引 vi 为 0，// 则将汇总后的 sum 存储到共享内存的输出部分。if( vo < M && vi == 0 ) {smem_o[smem_curr*smem_buffer_elts + vo] = sum;}// 使用 __syncthreads() 来确保所有线程都完成了对共享内存的写操作。__syncthreads();// 活跃的处理 V 的线程读取共享内存中的汇总结果到 sum 变量中。if( active_v ) {sum = smem_o[smem_curr*smem_buffer_elts + tidx];}} // THREADS_PER_HEAD > 1.// 活跃的处理 V 的线程将汇总结果写入全局内存的输出位置。if( active_v ) {*out_ptr = sum;}// 根据 GO_BACKWARD 标志移动输出指针，为下一步迭代做准备。if( GO_BACKWARD ) {out_ptr -= params.o_stride_L;} else {out_ptr += params.o_stride_L;}// 切换共享内存缓冲区，以便在下一个时间步中使用。smem_curr = (smem_curr + 1) % 2;// 如果不是最后一次迭代，存储下一步迭代的 Q、K 和 V 到共享内存中。if( !is_last && tidx < E ) {smem_q[smem_curr*smem_buffer_elts + tidx] = ldg_q;smem_k[smem_curr*smem_buffer_elts + tidx] = ldg_k;}if( !is_last && tidx < M ) {smem_v[smem_curr*smem_buffer_elts + tidx] = ldg_v;}}
}

kernel里面从shared memory加载Q，K，V的时候的索引代码不是很好理解，这里单独解释一下，以加载K为例：

float4 k[FLOAT4s_PER_THREAD];#pragma unrollfor( int ii = 0; ii < FLOAT4s_PER_THREAD; ++ii ) {int ki = tidx % THREADS_PER_HEAD * 4 + ii * THREADS_PER_HEAD * 4;k[ii] = *reinterpret_cast<const float4*>(&smem_k[smem_curr*smem_buffer_elts + ki]);}

这里的目的是给每个线程加载一组 float4 类型的 Key 值到局部数组 k 中，FLOAT4s_PER_THREAD 表示每个线程要处理的float4的元素数量，THREADS_PER_HEAD 表示每个注意力头需要分配的线程数，以及tidx表示的是当前的线程索引。

tidx % THREADS_PER_HEAD 这行代码标识当前线程在它所属的注意力头中的局部索引。由于每个注意力头有 THREADS_PER_HEAD 个线程，取模操作确保了索引在 0 到 THREADS_PER_HEAD - 1 的范围内。然后*4用于确保我们访问的是连续的 float4 元素。

接着，ii 是循环变量，从 0 到 FLOAT4s_PER_THREAD - 1。这一步是为了在整个 Key 共享内存中跳过前面所有线程已经处理的部分。乘以 THREADS_PER_HEAD * 4 是因为每个线程负责 FLOAT4s_PER_THREAD 个 float4 元素。

再之后，索引 ki 是以上两部分的和，它确定了当前线程应该从共享内存 smem_k 中读取 K 值的起始位置。

最后，当计算出正确的索引 ki后，kernel就通过 *reinterpret_cast<const float4*>(&smem_k[smem_curr*smem_buffer_elts + ki]) 从共享内存中加载 float4 类型的 Key 值。这里使用了 reinterpret_cast 来确保将共享内存中的数据正确地解释为 float4 类型。

最后，对这个kernel的计算逻辑以及线程配置做一个总结：

• block size：每个块的线程数计算基于 E 和 M*THREADS_PER_HEAD 的最大值，向上取整到最近的 32 的倍数。
• grid size：由头数（H）和批量大小（B）组成的二维网格。
• 共享内存大小：由 smem_buffer_elts_ 函数计算，考虑到特征维度和双缓冲策略。

计算逻辑为：

• 加载和存储 Q、K、V：
  • 根据线程索引和参数中的 stride（步长），计算 Q、K 和 V 的偏移量。
  • 将 Q、K 和 V 的值加载到共享内存中。
• 计算 K*V^T 乘积：
  • 每个线程从共享内存中加载 K 和单个 V 值。
  • 计算 K 和 V 的乘积，并累加到局部内存中。
• 加载 Q 值并计算输出：
  • 从共享内存中加载 Q 值。
  • 使用 Q 和 K*V^T 的乘积来计算每个线程的部分输出值。
• 汇总计算结果：
  • 当每个注意力头有多个线程时，使用 __shfl_xor_sync 函数在 warp 内部进行数据交换，实现线程间的汇总。
• 存储输出：
  • 将汇总后的结果存储到输出指针指向的全局内存位置。
• 更新指针和缓冲区：
  • 根据 GO_BACKWARD 标志更新指针位置。
  • 切换共享内存缓冲区以备下一次迭代使用。

这个kernel的执行条件是 B * H 比较大（>40），也就是说可以保证 Block 的数量比较多，这个时候可以获得更高的GPU利用率。但如果 B * H 比较小的时候，如果还是调用这个 kernel，那就会导致 Block 的数量较少，比较难打满 GPU ，所以对于这种情况上面还提供了另外一个 kernel，即：lmha_low_occupancy_kernel 用于在 B * H 比较小时尽可能提高occupancy。但是这个kernel我目前还没完全看明白，等看明白了有机会再分析。

0x4. 总结

本文主要是对Linear Transformer的核心组件Linear Attention进行了原理讲解，并对实现Linear Attention组件的forward cuda kernel进行了详细解析，但这里的实现涉及到3个cuda kernel，分别在不同的数据规模和优化选项下触发，这里只解析了其中的两个。对于 lmha_low_occupancy_kernel 等看明白了有机会再分享。

0x5. 参考

• https://www.zhihu.com/question/602564718
• https://arxiv.org/pdf/2006.16236.pdf