1. CF106C Buns

题目描述

https://www.luogu.com.cn/problem/CF106C

题目概况

来源：Codeforces

洛谷难度：$黄题$

CF难度：$1700$

标签：$01背包$

思路点拨

对于包子，包子的数量有上限 $\lfloor \frac{a_i}{b_i}\rfloor$ 即特殊标记馅料数量比上一个 $i$ 包子所需要的馅料数量。

一种包子的上限最多是 $100$， 面包的上限是 $1000$， 最多有 $10$ 种包子，所以物品的上限是 $2000$， $01背包即可$
时间复杂度 ：$\mathrm{O}(2000\cdot n)\approx 2e6$
AC.

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;const int maxn=50;
const int maxm=1e3+10;
int n,m,x,y,c,d,cnt;
int f[maxm][maxm];
struct node{int w,v;
}a[maxn*maxm];
inline void calculate(int num,int w,int v){int s=1;while(num){if(num>=s){a[++cnt].w=s*w;a[cnt].v=s*v;num-=s;}else {a[++cnt].w=num*w;a[cnt].v=num*v;num=0;}s*=2;}return ;
}
int main(){scanf("%d%d%d%d",&m,&n,&c,&d);calculate(1000,c,d);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&c,&d);calculate(x/y,c,d);}
//	printf("%d\n",cnt);for(int i=1;i<=cnt;i++){for(int j=0;j<=m;j++){f[i][j]=f[i-1][j];if(j>=a[i].w)f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-a[i].w]+a[i].v);}}printf("%d\n",f[cnt][m]);return 0;
}

2. CF864E Fire

题目描述

https://www.luogu.com.cn/problem/CF864E

题目概况

来源：Codeforces

洛谷难度：$绿题$

CF难度：$2000$

标签：$01背包$

思路点拨

对于 $\forall i$ 都有时间上限为 $d_i-1$, $01背包$ 记录路径即可
时间复杂度 ：$\mathrm{O}(\max d_i\cdot n)\approx 2e5$
AC.

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;const int maxn=100+10;
const int maxm=2e3+10;
int n,tot;
int ans[maxn];
int f[maxn][maxm];
int fa[maxn][maxm][3];
struct item{int t,d,p,op;inline void input(){scanf("%d%d%d",&t,&d,&p);}
}a[maxn];
inline bool cmp(item nx,item ny){return nx.d<ny.d;}
inline void calculate(int x,int y,int z){if(x==0){if(z==1)ans[++tot]=a[x+1].op;return ;}if(z==1)ans[++tot]=a[x+1].op;calculate(fa[x][y][0],fa[x][y][1],fa[x][y][2]);return ;
}
int main(){scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){a[i].input();a[i].op=i;}sort(a+1,a+n+1,cmp);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=0;j<a[i].d;j++){f[i][j]=f[i-1][j];fa[i][j][0]=i-1;fa[i][j][1]=j;fa[i][j][2]=0;if(j>=a[i].t){if(f[i][j]<f[i-1][j-a[i].t]+a[i].p){f[i][j]=f[i-1][j-a[i].t]+a[i].p;fa[i][j][0]=i-1;fa[i][j][1]=j-a[i].t;fa[i][j][2]=1; }} }}int s=0;for(int i=1;i<a[n].d;i++){if(f[n][i]>f[n][s])s=i;}printf("%d\n",f[n][s]);calculate(fa[n][s][0],fa[n][s][1],fa[n][s][2]);printf("%d\n",tot);reverse(ans+1,ans+tot+1);for(int i=1;i<=tot;i++)printf("%d ",ans[i]); return 0;
} 

3. CF366C Dima and Salad

题目描述

https://www.luogu.com.cn/problem/CF366C

题目概况

来源：Codeforces

洛谷难度：$蓝题$

CF难度：$1900$

标签：$01背包$

思路点拨

背包瓶颈

因为要使 $\sum a[i]=k\cdot \sum b[i]$ 这个条件看起来十分的恶心。

解决方法

令背包容量 $p=a_i-k\cdot b_i$
若 $p<0$ 时扔入背包 $f$ 的序列
若 $p>=0$ 时扔入背包 $g$ 的序列
$f[i]、g[i]$ 均表示背包容量等于 $i$ 的最大美味值
最终答案即为 $\max (f_i+g_i)$ ,如果 $\forall f_i或g_i$ 都不成立，则答案为 $-1$
时间复杂度 ：$\mathrm{O}(\max a[i]-k\cdot b[i]\cdot n^2)\approx 1e6$
AC.

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;const int maxn=100+10;
const int maxm=1e5+10;
const int inf=1e18;
int n,k,cnt1,cnt2;
int f[maxm],g[maxm],t[maxn];
struct node{int w,v;
}a[maxn],b[maxn];
signed main(){scanf("%lld%lld",&n,&k);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&t[i]);for(int i=1;i<=n;i++){int u;scanf("%lld",&u);int p=t[i]-k*u;if(p<=0){a[++cnt1].w=abs(p);a[cnt1].v=t[i];}else {b[++cnt2].w=p;b[cnt2].v=t[i];}}for(int i=1;i<=100000;i++)f[i]=g[i]=-inf;for(int i=1;i<=cnt1;i++){for(int j=100000;j>=a[i].w;j--)f[j]=max(f[j],f[j-a[i].w]+a[i].v);}for(int i=1;i<=cnt2;i++){for(int j=100000;j>=b[i].w;j--)g[j]=max(g[j],g[j-b[i].w]+b[i].v);}int ans=0;for(int i=0;i<=100000;i++)ans=max(ans,f[i]+g[i]);if(ans==0)ans=-1;printf("%lld\n",ans);return 0;
}

4. CF1132E Knapsack

题目描述

https://www.luogu.com.cn/problem/CF1132E

题目概况

来源：Codeforces

洛谷难度：$蓝题$

CF难度：$2300$

标签：$01背包$

思路点拨

将单个物品打成 $840$ 的堆
若 $W\ge {\sum }_1^{8}cn{t}_i\cdot i$ 则答案为 ${\sum }_1^{8}cn{t}_i\cdot i$
否则 $840$ 堆用完和未用完，剩余的数量不足 $840$,直接01

时间复杂度 ：$\mathrm{O}(1000\ast 840)\approx 1e6$
AC.

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long 
using namespace std;const int maxn=20+10;
const int maxm=1e4+10;
const int maxk=1e3+10;
int w,s,cnt,tot;
int a[maxn],b[maxn],v[maxm],f[maxk];
signed main(){scanf("%lld",&w);s=w/840;for(int i=1;i<=8;i++){scanf("%lld",&a[i]);b[i]=a[i]/(840/i);a[i]=a[i]%(840/i);if(s>=b[i]){s-=b[i];b[i]=0;}else {b[i]-=s;s=0;}}for(int i=1;i<=8;i++){if(b[i]>0)a[i]=840/i;tot=tot+i*a[i];for(int j=1;j<=a[i];j++)v[++cnt]=i;}int p=w%840;if(s==0){for(int i=1;i<=cnt;i++){for(int j=p;j>=v[i];j--)f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+v[i]);}printf("%lld\n",w-(p-f[p]));}else {p=p+s*840;if(p>=tot)printf("%lld\n",w-(p-tot));else {for(int i=1;i<=cnt;i++){for(int j=p;j>=v[i];j--)f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+v[i]);}printf("%lld\n",w-(p-f[p]));}}return 0;
} 

5. CF632E Thief in a Shop

题目描述

https://www.luogu.com.cn/problem/CF632E

题目概况

来源：Codeforces

洛谷难度：$紫题$

CF难度：$2400$

标签：$01背包$

思路分析

基本分析

本题，可读出来每个物品可取无限次 -> 很像完全背包

但是，题目限定恰好取$k$件物品，十分的恶心（同时也是提升的一次机会。
不妨可以看出这道题中件数是代价，而且每件物品的件数均为1（有点小别扭），所以每件物品的代价均为$1$，

单一性反推多样性

之前做的背包题普遍是靠代价推转移方程算价值，但$dp$只会取极值存储，就如函数的单一性，每个$x$对应唯一的$y$ ,反之拿$y$推$x$是本题不错的选择，因为函数中每个$y$可以对应多个不同的$x$。我之所以用函数来解释$dp$,是因为 $dp$本身就是函数。
所以一个代价只能对应一个极端价值，但是一个价值能对应多个代价，取代价最小，这个价值的发展空间才能最大化。

思想迸射

一个不成熟的思路油然而生；
状态定义：定义$f_i$当凑得价值为$i$时，最小所花费的次数

思路一般化处理

先不说$f_i$怎么转移，至少我们可以确定这个$f$数组是没有后效性的。

假设我们有了一个处理好的数组$f$，针对$\forall i(1\le i\le 1000^2)$
若$f_i=k$
$\therefore f_i,绝对可取$
若$f_i>k$
$\therefore f_i，绝对不可取$
但针对$f_i<k$
我们不清楚是否能取到，我们需要用一些特殊的处理方式来处理一下。

还来下面将说明这道题，不看$tj$在一个月内都想不出来的处理方法：

• 加入价值为0的物品（$littletrick$）

因为这样在转移方程时，会忽略价值为$0$的物品，加入它们不会让最小凑齐数最小。
$\therefore 为了让发展空间最大化，将a数组sort(从小->大)，将\forall a_i(1\le i\le n)-a_1,让原有a_1变为0.最后针对f_i<k的情况将i+k{a}_1,凑齐k件物品，将i+k{a}_1作为最终结果$

状态转移方程：$f_i=\min (f_i,\min (f_{i-a_j}+1)))(1\le i\le 1000^2)(1\le j\le n)$

时间复杂度:$\mathrm{O}(1000^2\cdot n)$
若$n与1000同阶$
$\mathrm{O}(n^3)\approx 1e9$
$5s->\approx 1e9$
可以AC
分析结束！

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;const int maxn=1e3+10;
const int inf=2e9;
int n,k,cnt;
int a[maxn],f[maxn*maxn],ans[2*maxn*maxn];
int main(){scanf("%d%d",&n,&k);for(int i=1;i<=1000000;i++)f[i]=inf;//状态初始化for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);sort(a+1,a+n+1);//sort lower->upper//计算凑齐价值为i的最小件数for(int j=1;j<=n;j++){for(int i=a[j]-a[1];i<=1000000;i++){if(f[i-(a[j]-a[1])]==inf)continue;f[i]=min(f[i],f[i-(a[j]-a[1])]+1);//价值为0物品处理}}//f[i]<=k 对于价值物品的补助for(int i=0;i<=1000000;i++){if(f[i]<=k)ans[++cnt]=i+k*a[1];else continue;}//sort printsort(ans+1,ans+cnt+1);for(int i=1;i<=cnt;i++)printf("%d ",ans[i]);return 0;
}