参考文献：

1. [CIM19] Carpov S, Izabachène M, Mollimard V. New techniques for multi-value input homomorphic evaluation and applications[C]//Topics in Cryptology–CT-RSA 2019: The Cryptographers’ Track at the RSA Conference 2019, San Francisco, CA, USA, March 4–8, 2019, Proceedings. Springer International Publishing, 2019: 106-126.
2. [CGGI20] Chillotti I, Gama N, Georgieva M, et al. TFHE: fast fully homomorphic encryption over the torus[J]. Journal of Cryptology, 2020, 33(1): 34-91.
3. [GBA21] Guimarães A, Borin E, Aranha D F. Revisiting the functional bootstrap in TFHE[J]. IACR Transactions on Cryptographic Hardware and Embedded Systems, 2021: 229-253.

Multi-value PBS

[CIM19] 分析了 FHEW 和 TFHE 的自举程序，发现：

1. FHEW 使用 ACC 计算 $X^{b-s^{T}a}$，然后使用关于 $F$ 的 Test Vector 作用到 ACC 上（多项式数乘），将 LUT 旋转为常数项是 $F(m)$
   • 优点：盲旋转获得的 ACC，可以作用到关于不同 $F$ 的多个 TV 上
   • 缺点：由于 ACC 和 TV 的乘法，噪声增长依赖于 TV 的范数
2. TFHE 直接把这个 Test Vector 嵌入到初始的 ACC 中，计算过程中将它旋转 $X^{b-s^{T}a}$ 使得常数项是 $F(m)$
   • 优点：公开的 TV 直接初始嵌入到了 ACC 里，输出的噪声独立于 TV 范数
   • 缺点：每次 PBS 只能计算单个函数

总体来说，FHEW-like 的 LUT 计算步骤是：选取合适的 $T{V}_F$，使得
$$T{V}_F(X)\cdot X^m\equiv F(m)+R(X)(\mathrm{mod}{\Phi }_{2N}(X))$$
其中 $R(X)$ 的常数项为零，$F(m)$ 是常数项。其中的 $X^m$ 是在 ACC 中同态计算的，$T{V}_F$ 根据需要加密（电路隐私）或不加密（公开的电路）。

注意 FHEW-like 不支持 LWE/RLWE 密文之间的 BGV-like 乘法，

• TFHE 可以之间将 $T{V}_F$ 加密在 RLWE-based ACC 中。
• 但是 FHEW 需要将 $T{V}_F$ 加密在 RGSW 内，使用外积来计算乘积（同态的模结构）。如果仅知道它的 RLWE 密文，还需要使用 [CGGI20] 的电路自举（多个 Gate PBS 求出若干 LWE 拼接成 GSW）。

Test polynomial factorization

为了综合 FHEW 和 TFHE 的优点，[CIM19] 提出将 Test Vector 分解为两部分，一部分（独立于 $F$）初始加密在 ACC 内，另一部分（依赖 $F$）最后最用到 ACC 上。

确切地说，给定任意的反循环函数 $F:{\mathbb{Z}}_{2N}\to {\mathbb{Z}}_{2N}$（编码了待计算的 $f:{\mathbb{Z}}_s\to {\mathbb{Z}}_t$），Test Vector 对应的多项式为：
$$T{V}_F(X)=F(0)-\sum _{i=1}^{N-1}F(N-i)\cdot X^i\in \mathbb{Z}[X]$$
我们简记 $T{V}_F(X)$ 的各项系数为 $t_i\in {\mathbb{Z}}_{2N}$

我们做如下分解：
$$\tau \cdot T{V}^{(0)}(X)\cdot T{V}^{(1)}(X)\equiv T{V}_F(X)(\mathrm{mod}{\Phi }_{2N}(X))$$
[CIM19] 设置 $\tau =1/2$ 以及 $TV(X)={\sum }_i{X}^i$，计算出 $T{V}_F^{(1)}(X)$ 系数：
$$t_0^{\prime }=t_0+t_{N-1},t_k^{\prime }=t_k-t_{k-1},\forall k\ge 1$$
其实也可以令 $\tau$ 是多项式 $T{V}_F$ 系数的最大公因子，这使得 $T{V}_F^{(1)}(X)$ 的范数更小些。

几何解释：

1. 将 $T{V}^{(0)}$ 嵌入到 ACC 内，它测试的是消息的 MSB，分别输出 $\pm \tau$
2. 用 $T{V}_F^{(1)}$ 作用到 ACC 上，它将上述的结果做了线性组合 $t_i^{\prime }{X}^i$，最终输出 $F(m)$

对于待计算的反循环函数 $f:{\mathbb{Z}}_s\to {\mathbb{Z}}_q$，$s,q\mid 2N$，令 $r(m):=\lfloor m\cdot t/2N\rceil$ 是缩放舍入函数，那么设置 $F=f\circ r$，构造出 $T{V}_F^{(1)}(X)$，[CIM19] 证明了
$$\Vert T{V}_F^{(1)}(X){\Vert }_2^2\le s\cdot (q-1{)}^2$$

Homomorphic LUT

现在，我们利用分解出的单个 $\tau \cdot T{V}^{(0)}$ 和若干个 $T{V}_{F_i}^{(1)}$，执行 multi-value PBS，

其中最花费时间的 step 3 是公共部分，仅执行一次。根据不同的 $F_i$，多次执行 step 4，输出同一个消息 $m$ 的不同函数值 $F_i(m)$。

为了计算 multi-value 布尔函数 $f:{\mathbb{Z}}_2^r\to {\mathbb{Z}}_2^t$，由于 $T{V}_F^{(1)}$ 范数的约束，[CIM19] 将它分解为多个函数
$$f_1,\cdots f_t:{\mathbb{Z}}_{2^r}\to {\mathbb{Z}}_2$$
其中 $f_i$ 的 domain 是整环 ${\mathbb{Z}}_s,s=2^r$，range 是整环 ${\mathbb{Z}}_q,q=2$，从而有 $\Vert T{V}_F^{(1)}{\Vert }_2^2\le 2^r$

为了方便布尔值和整环之间的转换 $\varphi :(m_0,\cdots ,m_{r-1})\in {\mathbb{Z}}_2^r\mapsto m\in {\mathbb{Z}}_{2^r}$，以及为了计算任意的布尔函数，[CIM19] 将 $m\in {\mathbb{Z}}_{2^r}$ 缩放为 $m/2^{r+1}\in [0,0.5)$ 加密在 TFHE 密文中（MSB 强制为零），同时把 $m_i\in {\mathbb{Z}}_2$ 缩放为 $m_i/2^{r+1}$，从而实现 PBS 的输入输出之间的连接。

对于 6-bits to 6-bits PBS，此方案的计算时间为 1.57 秒（相较于 Gate PBS 的 10 ms 简直太慢了吧）。

Combine PBS

随着 LUT 的精度提高（相位空间 ${\mathbb{Z}}_q$，编码消息空间 ${\mathbb{Z}}_t$），为了留出足够的纠错冗余（区间长度 $\Delta \approx q/t$ 大于噪声规模），不得不增大 ACC 的维度。

[GBA21] 提出可以将单个高精度 LUT 切分为多个很小的 LUT，迭代地计算出最终的查表结果。因为只需要 PBS 支持低精度 LUT 即可，从而避免参数规模的扩大。

他们给出了两种组合方法：树型组合（PBS 结果是 LUT）、链式组合（PBS 结果是 Seletor）

Tree-based PBS

设置数字分解基底 $B$，让 ACC 仅支持 $t=B$ 的明文空间（LUT 的各个数值在 RLWE 系数上连续重复 $N/B$ 次），

• 输入数据 $m\in {\mathbb{Z}}_{B^d}$，将它分解为 ${\sum }_i{m}_i\cdot B^i$，分别加密为 $c_i=LWE(m_i)$
• 对于高精度函数 $f:{\mathbb{Z}}_B^d\to {\mathbb{Z}}_B$（并行 $d$ 个函数），对应的 $B^d$-size LUT，将它顺序拆分为 $B^{d-1}$ 个区间，作为 $B$-size LUT
• 易知各个 LUT 都以 $m_0$ 作为 Selector，因此执行 PBS 获得 $B^{d-1}$ 个消息 $f(x_0=m_0,\cdots )$ 的 LWE 密文
• 将它们顺序打包为 $B^{d-2}$ 个 $B$-size LUT（通过 Functional Key-Switch），继续使用 $m_1$ 作为 Selector 执行 PBS，计算出 $f(x_0=m_0,x_1=m_1,\cdots )$ 的 LWE 密文
• 迭代执行，最终会输出 $f(m_0,m_1,\cdots ,m_{d-1})$ 的 LWE 密文

注意到第一层的各个 LUT 是明文列表，并且作用在相同的 $m_0$ 上，因此可以使用 [CIM19] 的 Multi-value PBS，仅执行一次盲旋转。但是输出的 LUT 被加密在了 RLWE 内（包含了 $m_0$ 的信息），因此 Test Vetor 作用到 ACC 上需要利用外积。因为电路自举太慢了，所以 [GBA21] 对于后续的计算不再使用 Multi-value PBS 技术，仅仅使用 TFHE 的方式挨个计算。

对于特殊结构的函数 $f$，它可能连续的小区间内的数值是常数或者线性函数，从而某些小的 LUT 可以被简化掉（但是泄露的电路信息，不过不会泄露消息本身）。对于 Sigmoid，它的两端基本是常数（简单设置常数密文），中间基本是线性函数（利用 LWE 的线性同态），其余的部分是非线性的（利用 PBS 计算）。

Chain-based PBS

上述的 Tree-based PBS 是通用结构，但是噪声增长比较大。[GBA21] 推广了之前某个工作的整数比较算法，给出了链式组合结构：

• 依旧是将 $m$ 分解为 $m_i$，将高精度 LUT 使用某种复杂的方式分解为 $d$ 个很小的 LUT
• 首先 $c_0$ 执行 PBS 获得 $\bar{c}$，将它和 $c_1$ 做线性组合后，被用作下一个 LUT 的 Selector（而非 LUT），利用这些 Selector 迭代处理各个 LUT

它的噪声更小，但是更加适合 carry-like logics（例如：比较、算术加法、算术乘法）。

[GBA21] 并没有详细描述 Chain-based PBS 的具体流程。高精度 LUT 到底怎么分解的？Selector 的线性组合又是怎么确定的？完全没有写。

Improving building blocks

Base-aware Key-Switching

在 Tree-based PBS 中，需要使用 Functional Key-Switch，将上一层的 $B$ 个 LWE 打包为一个 ACC 密文。由于 ACC 中需要留足冗余区间，导致其中包含大量的连续重复的系数，因此这个特殊的 KS 过程可以被专门优化：

使用空间换时间的策略，[GBA21] 将 KS 的规模扩大了 $B$ 倍，但是同态线性解密时，不再需要计算较慢的多项式数乘，而是简单的内积（常数多项式数乘的加和）。

Multi-Value Extract

此外为了降低数乘的噪声，因为加和的方差为 ${\sigma }_{x+y}^2={\sigma }_x^2+{\sigma }_y^2+2\rho {\sigma }_x{\sigma }_y$，其中 $\rho$ 是相关系数。如果计算数乘，

• 给定一个 $X$ 它是 $x$ 附近的随机变量，那么 $\rho =1$，从而 ${\sigma }_{nx}^2=n^2{\sigma }_x^2$
• 如果给定 $X_1,\cdots ,X_n$ 它们是 $x$ 附近的独立变量，则有 $\rho =0$，就仅是 ${\sigma }_{nx}^2=n{\sigma }_x^2$

根据 TFHE 的启发式假设，ACC 的各个系数使用了独立的高斯噪声，因此我们可以将 $x$ 对应区间的 $b$ 项加起来，作为数乘 $bx$ 的结果。这要求噪声规模更小一点，从而 PBS 输出的 ACC 常数项附近的半径 $b/2$ 区间内都加密相同的数值。

不幸的是，[GBA21] 在实验中并没有观察到噪声增长从平方降低而线性，并且实际噪声水平比 TFHE 估计的还要偏大。因此系数之间存在的相关性，事实上会影响到自举过程。