相互独立的Gamma分布变量之和的分布

两个变量之和的情况

设随机变量X,Y相互独立，并且X服从参数为\alpha ,\theta的\Gamma分布，记作X\sim \Gamma (\alpha ,\theta )；Y服从参数为\beta ,\theta的\Gamma分布，记作Y\sim \Gamma (\beta ,\theta )，X和Y的概率密度分别为：

f_{X}(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\theta ^{\alpha }\Gamma (\alpha )}x^{\alpha -1}e^{-x/\theta }, x>0 \\ 0,\; \; \; \; \; other \end{matrix}\right. 

其中\alpha >0,\theta >0

 f_{Y}(y)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\theta ^{\beta }\Gamma (\beta )}y^{\beta -1}e^{-y/\theta }, y>0 \\ 0,\; \; \; \; \; other \end{matrix}\right.

其中\beta >0,\theta >0

那么随机变量Z=X+Y服从参数为\alpha +\beta ,\theta的\Gamma分布，记作X+Y\sim \Gamma (\alpha+\beta ,\theta )。

推广到n个变量之和的情况

设X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}相互独立，且X_{i}服从参数为a_{i},\beta (i=1,2,\cdots ,n)的\Gamma分布，记作X_{i}\sim \Gamma (\alpha_{i} ,\beta )，则

\sum_{i=1}^{n}X_{i}服从参数为\sum_{i=1}^{n}a_{i},\beta (i=1,2,\cdots ,n)的\Gamma分布，记作

\sum_{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma (\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i} ,\beta )

这一性质称为\Gamma分布的可加性。

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