C++数据结构——二叉搜索树详解

目录

一，关于二叉搜索树

1.1 概念

1.2 基本结构

二，二叉搜索树接口实现

2.1 插入

2.2 查找

2.3 打印

2.4* 删除

三，二叉搜索树接口递归实现

3.1 查找

3.2 插入

3.3 删除

 四，二叉搜索树的默认成员函数

五，测试代码

六，二叉搜索树的应用

6.1 KeyValue

6.2 改造二叉搜索树

6.3 测试代码

6.3.1 查找单词

6.3.2 统计水果出现的次数

一，关于二叉搜索树

1.1 概念

二叉搜索树又称二叉排序树，具有以下性质：

①一节点左子树节点的值都小于该节点的值

②一节点右子树的值都大于该节点的值

③一节点的左右子树也是二叉搜索树

简单来说就是左孩子节点比我小，右孩子节点比我大，所以以中序遍历二叉搜索树时打印的结果是从小到大的，所以二叉搜索树又被称为二叉排序树 

1.2 基本结构

template<class K>
struct BSTreeNode
{BSTreeNode<K>* _left;BSTreeNode<K>* _right;K _key;BSTreeNode(const K& key):_left(nullptr), _right(nullptr), _key(key){}
};
template<class K> 
class BSTree
{typedef BSTreeNode<K> Node;
public://接口以及默认成员函数实现private:Node* _root = nullptr;
}

二，二叉搜索树接口实现

2.1 插入

二叉搜索树的插入不难，如果数为空直接新增根节点，如果不为空，比我小走左边，比我大走右边，走到空的时候新增节点并完成链接，如下代码和注释

bool Insert(const K& key)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}//先找到合适的插入位置Node* parent = nullptr; //创建parent记录cur上一个节点位置，方便后面链接Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key) //插入的值比我大，走右边{parent = cur; //记录上一个位置cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key) //插入的值比我小，走左边{parent = cur; //记录上一个位置cur = cur->_left;}else//插入的值相等，插入失败，搜索二叉树不允许数据相等{return false;}}//找到插入位置，创建节点开始插入cur = new Node(key);//cur是局部变量，出了函数作用域后没了，不能直接cur赋值新节点//所以需要把前后链接起来，这时候轮到我们的parent登场了if (key > parent->_key) //插入的值比父节点大，走右边{parent->_right = cur;}else //插入的值比父节点小，走左边{parent->_left = cur;}return true;
}

2.2 查找

由于二叉搜索树的性质，每次查找一个树的时候只需要走树的高度次就可以查到了，查找效率非常高，所以二叉搜索树还有个名称叫做二叉查找树

bool Find(const K& key)
{Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key)//查找的值比我大，走右边{cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key)//查找的值比我小，走左边{cur = cur->_left;}else//查找成功{return true;}}return false; //查找失败
}

2.3 打印

打印我们以中序遍历打印，所以我们使用递归实现打印接口，如下代码：

public:void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}

2.4* 删除

由于二叉搜索树关联式容器的特殊性质，删除一个节点会改变整个容器的结构与性质，所以每个关联式容器的删除操作需要做非常多的处理

对于二叉搜索树的删除，我们大致分为下面几个情况：

①：删除一个节点，需要让被删除节点的父节点指向被删除节点的左孩子节点

②：删除一个节点，需要让被删除节点的父节点指向被删除节点的右孩子节点

③：在被删除节点的右子树找一个最大值的节点替换两个节点的值，再进行删除（或者找左子树最大的点替换）

如下图 

 具体实现结合下面代码和注释：

bool Erase(const K& key)//难
{Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else//找到了，开始删除{// 1、左为空if (cur->_left == nullptr)//要删除的节点的左子树为空{if (cur == _root)//极端情况，要干掉的是根{_root = cur->_right;}else{if (cur == parent->_left) //cur是父亲的左{parent->_left = cur->_right;//让父亲的左指向要删除节点的右，因为cur的左为空}else //cur是父亲的右{parent->_right = cur->_right; //让父亲的右指向要删除节点的右，因为cur的左为空}}delete cur;cur = nullptr;}// 2、右为空else if (cur->_right == nullptr)//要删除的节点的右子树为空{if (_root == cur)//极端情况，要干掉的是根{_root = cur->_left;}else{if (cur == parent->_left) //cur是父亲的左{parent->_left = cur->_left; //让父亲的左指向要删除节点的左，因为cur的右为空}else //cur是父亲的右{parent->_right = cur->_left;//让父亲的右指向要删除节点的左，因为cur的右为空}}delete cur;cur = nullptr;}// 3、左右都不为空else{// 找右子树最小节点 或 找左子树的最大节点 替代要删除的值Node* pminRight = cur;Node* minRight = cur->_right;//找右树最小节点while (minRight->_left){pminRight = minRight;minRight = minRight->_left;}cur->_key = minRight->_key;//交换要删除的值if (pminRight->_left == minRight){pminRight->_left = minRight->_right;}else //这里看不懂可以结合上面的那个图中的要删除3和8的场景来理解{pminRight->_right = minRight->_right;}delete minRight;}return true;}}//没找到，要删除的值不存在return false;
}

三，二叉搜索树接口递归实现

3.1 查找

public:bool FindR(const K& key)///递归查找{return _FindR(_root, key);}private:bool _FindR(Node* root,const K& key)//递归查找子函数{//最多找高度次，O(h) h是树的高度if (root == nullptr) return false;if (root->_key < key)return _FindR(root->_right,key);else if (root->_key > key)return _FindR(root->_left, key);else return true;}

3.2 插入

实现插入子递归函数的时候，我们选择用Node* &root做函数参数，原因如下：

插入的目标是插入合适的值，并且和父亲链接起来，比如要在某个节点右边插入一个值，递归时就是 _Insert(root->right,key)，我们用Node* &root之后，这个root就间接代表了上一个节点的right指针，然后我们再root = new Node(key)，相当于生成一个新节点并直接赋值给父节点的右，间接完成链接，如下代码

public:bool InsertR(const K& key)//递归插入{return _InsertR(_root, key);}private:bool _InsertR(Node* &root, const K& key)//递归插入{if (root == nullptr){root = new Node(key);//root是形参，所以前面用引用return true;}if (root->_key < key)return _InsertR(root->_right, key);else if (root->_key > key)return _InsertR(root->_left, key);else //相等return false;}

3.3 删除

删除我们和插入同理，用Node* &root做返回值，利用我们上面的思想完成递归实现，如下代码：

public:bool EraseR(const K& key){return _EraseR(_root, key);}private:bool _EraseR(Node* &root, const K& key){if (root == nullptr)return false;if (key > root->_key)return _EraseR(root->_right, key);else if (key < root->_key)return _EraseR(root->_left, key);else//找到了，开始删除{Node* del = root;if (root->_left == nullptr){//间接完成链接，这里的root在递归中可以间接认为是上一个节点的right或left，只是用了一个root引用来代替root = root->_right; }else if(root->_right == nullptr){root = root->_left;}else{//找右子树最小（最左）节点替换删除Node* min = root->_right;while (min->_left){min = min->_left;}swap(root->_key,min->_key);return _EraseR(root->_right, key);}delete del;return true;}}

 四，二叉搜索树的默认成员函数

public://由于我们自己实现了析构函数，所以编译器不会自动生成默认构造//这条语句强制编译器生成默认构造函数BSTree() = default;BSTree(const BSTree<K>& t)//拷贝构造{_root = _Copy(t._root);}~BSTree()//析构{_Destory(_root);}//t2=t1BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t){swap(_root, t._root);return *this;}private:Node* _Copy(Node* root){if (root == nullptr){return nullptr;}Node* copyRoot = new Node(root->_key);copyRoot->_left = _Copy(root->_left);copyRoot->_right = _Copy(root->_right);return copyRoot;}void _Destory(Node* &root){if (root == nullptr){return;}//先删左再删右再删根，后序_Destory(root->_left);_Destory(root->_right);delete root;root = nullptr;}

五，测试代码

int main()
{BSTree<int> t1;int a[] = { 8,3,1,10,6,4,7,14,13,4,3,4 };for (auto e : a){t1.Insert(e);}BSTree<int> t2 = t1;t1.InOrder();t2.InOrder();cout << "----------------" << endl;t1.Insert(15);t1.Insert(5);t2.Erase(8);t2.Erase(13);cout << t1.Find(15) << endl;cout << t2.Find(13) << endl;cout << "----------------" << endl;t1.InOrder();t2.InOrder();return 0;
}

六，二叉搜索树的应用

6.1 KeyValue

1，Key模型：只有Key作为关键码，结构中只需存储Key，搜索时只搜索Key

比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，方法如下

①以词库中所有单词集合中的每个单词作为Key构建一颗搜索二叉树

②在二叉搜索树中查找该单词的存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误

2，KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即<Key, Value>的键值对。

①比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文<word,chinese>就构成一种键值对

②再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可以快速找到其出现的次数，单词与其出现次数就是<word,count>就构成一种键值对

6.2 改造二叉搜索树

template<class K, class V>
struct BSTreeNode
{BSTreeNode<K, V>* _left;BSTreeNode<K, V>* _right;K _key;V _value;BSTreeNode(const K& key, const V& value):_left(nullptr), _right(nullptr), _key(key), _value(value){}
};
template<class K, class V>
class BSTree
{typedef BSTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const K& key, const V& value){if (_root == nullptr){_root = new Node(key, value);return true;}//找空位置插入Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key)//插入的值比我大，走右边{parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key)//插入的值比我小，走左边{parent = cur;cur = cur->_left;}else//插入的值相等，插入失败{return false;//搜索二叉树不允许数据相等}}cur = new Node(key, value);//cur是局部变量，出了函数作用域后没了，需要把前后链接起来//创建parent记录cur上一个节点位置，方便链接if (parent->_key < key){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}return true;}void InOrder(){_InOrder(_root);}Node* Find(const K& key)//允许修改{Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key)//插入的值比我大，走右边{cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key)//插入的值比我小，走左边{cur = cur->_left;}else//插入的值相等,查找成功{return cur;}}return nullptr;}
private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;;_InOrder(root->_right);}bool FindR(const K& key)///递归查找{return _FindR(_root, key);}Node* _root = nullptr;
};

6.3 测试代码

6.3.1 查找单词

void TestBSTree1()
{BSTree<string, string> dict;dict.Insert("sort", "排序");dict.Insert("left", "左边");dict.Insert("right", "右边");dict.Insert("string", "字符串");dict.Insert("insert", "插入");string str;while (cin >> str){BSTreeNode<string, string>* ret = dict.Find(str);if (ret){cout << ":" << ret->_value << endl;}else{cout << "->无此单词" << endl;}}
}

 

6.3.2 统计水果出现的次数

void TestBSTree2()
{string arr[] = { "苹果","苹果", "苹果", "苹果", "苹果", "香蕉","草莓","苹果", };BSTree<string, int> countTree;for (auto& str : arr){//BSTreeNode<string, int>* ret = countTree.Find(str);auto ret = countTree.Find(str);if (ret)//找到水果名{ret->_value++;}else//没有找到水果，该水果第一次出现{countTree.Insert(str, 1);}}countTree.InOrder();
}

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