day42代码训练|动态规划part04

本文参考:代码随想录代码随想录

动态规划:01背包理论基础

01背包问题:有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次,求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取,放进容量为j的背包,价值总和最大是多少

2. 确定递推公式

那么可以有两个方向推出来dp[i][j],

  • 不放物品i:由dp[i - 1][j]推出,即背包容量为j,里面不放物品i的最大价值,此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时,物品i无法放进背包中,所以背包内的价值依然和前面相同。)
  • 放物品i:由dp[i - 1][j - weight[i]]推出,dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值,那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] (物品i的价值),就是背包放物品i得到的最大价值

所以递归公式: dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

3. dp数组如何初始化

关于初始化,一定要和dp数组的定义吻合,否则到递推公式的时候就会越来越乱

首先从dp[i][j]的定义出发,如果背包容量j为0的话,即dp[i][0],无论是选取哪些物品,背包价值总和一定为0。

 j < weight[0]的时候,dp[0][j] 应该是 0,因为背包容量比编号0的物品重量还小。

当j >= weight[0]时,dp[0][j] 应该是value[0],因为背包容量放足够放编号0物品。

4. 确定遍历顺序

按照递推公式可得:需要用表格上方和左上方的数据,所以只要从后往前遍历,先递归物品/先递归背包重量都是可以的

先递归物品更好理解

public class BagProblem {public static void main(String[] args) {int[] weight = {1,3,4};int[] value = {15,20,30};int bagSize = 4;testWeightBagProblem(weight,value,bagSize);}/*** 动态规划获得结果* @param weight  物品的重量* @param value   物品的价值* @param bagSize 背包的容量*/public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize){// 创建dp数组int goods = weight.length;  // 获取物品的数量int[][] dp = new int[goods][bagSize + 1];// 初始化dp数组// 创建数组后,其中默认的值就是0for (int j = weight[0]; j <= bagSize; j++) {dp[0][j] = value[0];}// 填充dp数组for (int i = 1; i < weight.length; i++) {for (int j = 1; j <= bagSize; j++) {if (j < weight[i]) {/*** 当前背包的容量都没有当前物品i大的时候,是不放物品i的* 那么前i-1个物品能放下的最大价值就是当前情况的最大价值*/dp[i][j] = dp[i-1][j];} else {/*** 当前背包的容量可以放下物品i* 那么此时分两种情况:*    1、不放物品i*    2、放物品i* 比较这两种情况下,哪种背包中物品的最大价值最大*/dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j] , dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);}}}// 打印dp数组for (int i = 0; i < goods; i++) {for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {System.out.print(dp[i][j] + "\t");}System.out.println("\n");}}
}

动态规划:01背包理论基础(滚动数组)

在使用二维数组的时候,递推公式:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上,表达式完全可以是:dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);

与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上,不如只用一个一维数组了,只用dp[j](一维数组,也可以理解是一个滚动数组)。

1. 确定dp数组的定义

在一维dp数组中,dp[j]表示:容量为j的背包,所背的物品价值可以最大为dp[j]。

2. 一维dp数组的递推公式

二维数组减少一维,把[i-1]那排的数据就储存在dp[i]上

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

3. 一维dp数组如何初始化

关于初始化,一定要和dp数组的定义吻合,否则到递推公式的时候就会越来越乱

dp[j]表示:容量为j的背包,所背的物品价值可以最大为dp[j],那么dp[0]就应该是0,因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。

根据:

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数,如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了(范围内的最小值)。

这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值,而不是被初始值覆盖了

4. 一维dp数组遍历顺序

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}
}

1)倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次!。但如果一旦正序遍历了,那么物品0就会被重复加入多次!

举一个例子:物品0的重量weight[0] = 1,价值value[0] = 15

如果正序遍历

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30 (此时的dp[1]已经不是上一层的值了,由于第一步,已经被更新过,是这一层的值了,而压缩数组的思路就是把来利用上一次计算的值滚动更新数组,所以计算的时候应该应用上次计算的值)

此时dp[2]就已经是30了,意味着物品0,被放入了两次,所以不能正序遍历。

倒序就是先算dp[2]

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 (dp数组已经都初始化为0)

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

所以从后往前循环,每次取得状态不会和之前取得状态重合,这样每种物品就只取一次了。

并且之后的计算不会用到新计算的数据

倒序遍历的原因是,本质上还是一个对二维数组的遍历,并且右下角的值依赖上一层左上角的值,因此需要保证左边的值仍然是上一层的,从右向左覆盖。

2)不可以改变两个嵌套循环的顺序

不可以!

因为一维dp的写法,背包容量一定是要倒序遍历(原因上面已经讲了),如果遍历背包容量放在上一层,那么每个dp[j]就只会放入一个物品(此时dp[x] x<=j全部都是初始化0,所以最终dp[j]其实就是价值最大的那个物品,只放入了一个,然后j--,后序逻辑相同),即:背包里只放入了一个物品。

    public static void main(String[] args) {int[] weight = {1, 3, 4};int[] value = {15, 20, 30};int bagWight = 4;testWeightBagProblem(weight, value, bagWight);}public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagWeight){int wLen = weight.length;//定义dp数组:dp[j]表示背包容量为j时,能获得的最大价值int[] dp = new int[bagWeight + 1];//遍历顺序:先遍历物品,再遍历背包容量for (int i = 0; i < wLen; i++){for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--){dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}//打印dp数组for (int j = 0; j <= bagWeight; j++){System.out.print(dp[j] + " ");}}

416. 分割等和子集

要明确本题中我们要使用的是01背包,因为元素我们只能用一次。

首先,本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。

只有确定了如下四点,才能把01背包问题套到本题上来。

  • 背包的体积(重量极限)为sum / 2
  • 背包要放入的商品(集合里的元素)重量为 元素的数值,价值也为元素的数值
  • 背包如果正好装满,说明找到了总和为 sum / 2 的子集。(因为是找最大值,所以尽可能的能够利用所有的重量,如果无法找到相等的就说明没办法找到子集
  • 背包中每一个元素是不可重复放入。

转换为一个01背包问题,背包大小为sum/2,找到dp[sum/2]==sum/2?

1 如果sum为奇数,可以直接剪枝,返回false

2 每次检查jp[j] ,剪枝一下,每一次完成內層的for-loop,立即檢查是否dp[target] == target,只要找到就说明可以完成,不需要循环下去了

class Solution {public boolean canPartition(int[] nums) {if(nums == null || nums.length == 0) return false;int n = nums.length;int sum = 0;for(int num : nums) {sum += num;}//总和为奇数,不能平分if(sum % 2 != 0) return false;int target = sum / 2;int[] dp = new int[target + 1];for(int i = 0; i < n; i++) {for(int j = target; j >= nums[i]; j--) {//物品 i 的重量是 nums[i],其价值也是 nums[i]dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);}//剪枝一下,每一次完成內層的for-loop,立即檢查是否dp[target] == target,優化時間複雜度(26ms -> 20ms)if(dp[target] == target)return true;}return dp[target] == target;}
}

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