【数学证明 笔记02】完备性证明方法有哪些?

文章目录

  • 一、声明
  • 二、构造完备性证明
  • 三、反证法
  • 四、递归论证
  • 五、假设扩展
  • 六、构造模型

一、声明

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二、构造完备性证明

原理
构造一个对象(通常是序列、函数、集合等),证明它满足某种性质或条件,从而证明系统的完备性。

示例
命题:在实数范围内存在一个数值 c c c,使得方程 x 2 − 2 = c x^2 - 2 = c x22=c 有解。
证明:构造法。我们考虑方程 x 2 − 2 = c x^2 - 2 = c x22=c,可以通过观察得知当 c ≥ − 2 c \geq -2 c2 时,该方程有实数解。因此,我们可以选择 c = 0 c = 0 c=0,此时对应的解为 x = ± 2 x = \pm \sqrt{2} x=±2 。因此,实数范围内存在一个数值 c c c,使得方程 x 2 − 2 = c x^2 - 2 = c x22=c 有解。

三、反证法

原理
假设系统不完备,然后推导出一个矛盾结果,从而证明了系统的完备性。

示例
命题:如果 x 2 x^2 x2 是偶数,则 x x x 也是偶数。
证明:反证法。假设存在一个整数 x x x,使得 x 2 x^2 x2 是偶数但 x x x 不是偶数。这意味着 x x x 是奇数。根据奇数的性质, x = 2 k + 1 x=2k+1 x=2k+1,其中 k k k 是整数。那么 x 2 = ( 2 k + 1 ) 2 = 4 k 2 + 4 k + 1 = 2 ( 2 k 2 + 2 k ) + 1 x^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1 x2=(2k+1)2=4k2+4k+1=2(2k2+2k)+1,由此可得 x 2 x^2 x2 也是奇数,这与已知条件矛盾。因此,我们得出结论,如果 x 2 x^2 x2 是偶数,则 x x x 也是偶数。

四、递归论证

原理
对于递归定义的对象或概念,通过递归的性质和定义来证明系统的完备性。

示例
命题:证明斐波那契数列中的任意两个相邻的数互质。
证明:递归论证。首先,斐波那契数列的定义是 F ( 1 ) = F ( 2 ) = 1 F(1) = F(2) = 1 F(1)=F(2)=1 F ( n ) = F ( n − 1 ) + F ( n − 2 ) F(n) = F(n-1) + F(n-2) F(n)=F(n1)+F(n2) 对于 n ≥ 3 n \geq 3 n3。我们使用数学归纳法证明:假设 F ( k ) F(k) F(k) F ( k + 1 ) F(k+1) F(k+1) 互质,那么 F ( k + 1 ) F(k+1) F(k+1) F ( k + 2 ) F(k+2) F(k+2) 也互质。由于 gcd ( F ( m ) , F ( m + 1 ) ) = gcd ( F ( m ) , F ( m + 1 ) m o d F ( m ) ) \text{gcd}(F(m), F(m+1)) = \text{gcd}(F(m), F(m+1) \bmod F(m)) gcd(F(m),F(m+1))=gcd(F(m),F(m+1)modF(m)),根据辗转相除法可得到 gcd ( F ( m ) , F ( m + 1 ) ) = gcd ( F ( m ) , F ( m + 1 ) − F ( m ) ) \text{gcd}(F(m), F(m+1)) = \text{gcd}(F(m), F(m+1) - F(m)) gcd(F(m),F(m+1))=gcd(F(m),F(m+1)F(m)),根据斐波那契数列的递归性质, F ( m + 1 ) − F ( m ) = F ( m − 1 ) F(m+1) - F(m) = F(m-1) F(m+1)F(m)=F(m1)。所以 gcd ( F ( m ) , F ( m + 1 ) ) = gcd ( F ( m ) , F ( m − 1 ) ) \text{gcd}(F(m), F(m+1)) = \text{gcd}(F(m), F(m-1)) gcd(F(m),F(m+1))=gcd(F(m),F(m1))。根据数学归纳法,证明了斐波那契数列中的任意两个相邻的数互质。

五、假设扩展

原理
假设原系统不完备,然后引入新的元素或规则,通过扩展系统来证明其完备性。

示例
命题:证明欧几里得算法的完备性。
证明:假设扩展。欧几里得算法是用于计算两个整数的最大公约数的算法。如果我们扩展这个算法,并确保在算法的每一步都能得到有效的最大公约数,那么我们就可以证明欧几里得算法的完备性。例如,对于给定的两个整数 a a a b b b,我们可以使用欧几里得算法,通过反复取余数的方式,得到它们的最大公约数。这种假设扩展的方式可以保证算法始终得到正确的结果,从而证明了其完备性。

六、构造模型

原理
构造一个模型来展示系统的完备性,通常在逻辑、集合论、和数学基础理论中使用。

示例
命题:证明欧几里得几何的平行公设。
示例:为了证明欧几里得的平行公设,可以构造一个平行线公设的几何模型。通过在欧几里得平面几何中构建两条被一条直线截断的平行线,然后利用这个模型展示平行线性质。这个模型可以演示平行线之间的角对应相等、同位角相等和内错角相等等性质,从而证明欧几里得的平行公设。这种构造模型的方法常用于几何学和拓扑学中,用以展示特定系统的内在完备性或一致性。

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