堆与二叉树(上)

本篇主要讲的是一些概念,推论和堆的实现(核心在堆的实现这一块)

涉及到的一些结论,证明放到最后,可以选择跳过,知识点过多,当复习一用差不多,如果是刚学这一块的,建议打勾的概念多留意,推论前三个相似,了解其中一个即可,重点看推论四(主要是和堆的实现有关),一定要动手实现堆排序哦,希望对你们有帮助


讲堆之前我们先介绍一下 树 的概念

一 . 树的概念

什么是树?

树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。它的结构很像一棵倒过来的树

正因为这一点,有些结构的名称就可以跟数联系起来

  • 其中一个特殊的节点叫作根节点,它没有前驱结点
  • 除根节点以外,其余若干个集合叫作子树(子树之间不能相交)
  • 除根节点以外,每个父节点都有一个前驱结点

错误的图示

树的相关知识

图例:

节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度; 如上图:A的为6

叶节点或终端节点:度为0的节点称为叶节点; 如上图:B、C、H、I...等节点为叶节点

非终端节点或分支节点:度不为0的节点; 如上图:D、E、F、G...等节点为分支节点

双亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点; 如上图:A是B的父节点 (注:A不仅是根节点,也是父节点)

孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点; 如上图:B是A的孩子节点

兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点; 如上图:B、C是兄弟节点

树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度; 如上图:树的度为6

节点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推

树的高度或深度:树中节点的最大层次; 如上图:树的高度为4

堂兄弟节点:双亲在同一层的节点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟节点

节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;如上图:A是所有节点的祖先

子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图:所有节点都是A的子孙

森林:由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林;

二.  二叉树

二叉树的概念

二叉树是一种特殊的树

每个父节点都最多有两个子节点

图例1

特殊的二叉树

  1. 满二叉树

       要求每一个父节点必须有两个子节点(如上述图例1

     2. 完全二叉树

      要求节点是连续存放的

(这里用数组的存储形式来说明)

正确示范:

错误示范:

二叉树的一些推论

规定根节点的层数为 1 ,总层数为 h ,节点个数为 n

      推论1

      已知总层数为 h,求最后一层的节点个数的最大值:

      2 ^(h - 1)

      推论2

       已知节点个数为 n,求具有n个结点的满二叉树的深度 h

     

      推论3

     若根节点层数为1(保证不是空树),已知深度为 h ,则求二叉树的最大节点数:

       推论4

         已经节点总个数 n 的完全二叉树 ,从第一个根节点开始以 0 编号,从左到右,从上到下编号依次增加 1

        求 父节点 和 左右孩子节点 的关系(parent , child 1 和 child2 都是下标)

        a. 若知道 parent:

       则 child1 = parent * 2 + 1

      child2 = parent * 2 + 2

       b. 若知道 child (无论哪个孩子下标都可以):

      则 parent = (child - 1) / 2

推论5

对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0 , 度为2的分支结点个数为 n2 ,

则有 n0 = n2 +1

证明推论5

用图例阐明遇到的情况:

我们发现当 n1 + 1 ,意味着 n0 - 1

n2 + 1 , 意味着 n1 - 1


证明推论1

证明推论2

 证明推论3

是推论2

(即是满二叉树)

 证明推论4

完全二叉树有一个性质,它是连续存放的

第一个结论通过画图我们很容易就得到了

第二个结论主要注意的是:

由于下标都是 int 类型的,最终得到的一定是整数

证明推论5

用图例阐明遇到的情况:

我们发现当 n1 + 1 ,意味着 n0 - 1

n2 + 1 , 意味着 n1 - 1

三 . 二叉树的储存结构

二叉树有两种储存形式:

一个是 顺序储存结构 , 另一个是 链式储存结构

  1. 顺序结构存储就是使用数组来存储,一般使用数组只适合表示完全二叉树,因为不是完全二叉树就会有空间的浪费

图例

      2. 二叉树的链式存储结构是指,用链表来表示一棵二叉树,

     一般两个指针存放左右孩子的节点

图例

四 . 堆的概念

堆的性质

堆满足以下性质:

  1. 是一棵 完全二叉树
  2. 只有 小堆 或者 大堆

(小堆:父节点的值永远小于等于两个孩子节点的值;

大堆:父节点的值永远大于等于两个孩子节点的值)

图例

堆的实现

1. 堆的排序

堆的排序有两种:向上排序法 和 向下排序法(这里用顺序结构)

向上排序法

该方法可以在一个个把数值放进去的同时进行排序

实现思路如下:

父节点下标从 0 开始,一个节点也是一个堆(所以放入第一个数的时候是不用进行排序的),后面的数先把值放入数组,再进行与父节点进行对比(已知 child 下标,求 parent 下标,回到推论4

[由于可能发生多次交换问题,这里需要用到循环]

如果 父节点 的值 大于 子节点 的值(排小堆),则交换;

如果 父节点 的值 小于 子节点 的值(排大堆),则交换.

并且 此时 child 下标 和 parent 下标都要发生改变,让上一个父节点和上一个子节点作比较

注意:想要改变两个值,一定要传地址

结束条件:

如果不用交换可以跳出循环

或者到 child > 0 时,跳出循环


代码

void swap(int* p1, int* p2)
{if (*p1 == *p2){return;}else{int tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;}
}
void upAdjust(int* pa, int n)
{for (int i = 1; i < n; i++){int child = i;int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){if (pa[parent] > pa[child]){swap(&pa[parent], &pa[child]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}}}

向下排序法

给一组无序数组,我们给它排序,这里需要我们从最后一棵子树(度不为0)的父节点和它的子节点开始倒着排序

像这样:

我们以第一棵树为例(序号为1的树)

这里更容易找到子节点 , 然后根据公式推出父节点

但是我们的思路是 让父节点与 (更小的)子节点比较(升序),或者与(更大的)子节点比较 (降序)

这里的子节点需要通过比较确定,所以我们先去找父节点的下标起

parent = (n - 1) / 2

child = parent * 2 + 1(假设第一个节点就是我们需要比较的那个节点)

再与第二个节点进行对比,确定 child 下标(判断时为了防止没有第二个子节点而越界的情况,一定要对其进行判断)

对比 父节点 和 子节点 的值

我们还需要向下调整

此时 parent = child

child = parent * 2 + 1

一直到 child >= n (这是最内层的循环结束条件)

比完第一棵树,再比第二棵树

此时 parent -= 1 (完全二叉树是连续的)

注意:由于可能发生连续向下的调整,导致 parent 的值会发生改变,所以我们需要得到第一棵树最开始的 parent

child = parent * 2 + 1

重复上述动作,直到

parent >= 0(这是最外层的循环条件)


代码

void swap(int* p1, int* p2)
{if (*p1 == *p2){return;}else{int tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;}
}
void downAdjust(int* pa, int parent, int n)
{int child = parent * 2 + 1;while (child < n){if (child + 1 < n && pa[child] > pa[child + 1]){child++;}if (pa[parent] > pa[child]){swap(&pa[parent], &pa[child]);}parent = child;child = parent * 2 + 1;}
}

2. 实现堆

堆的实现分几步:(这里用顺序结构)

堆的步骤

a. 构造一个堆的结构体

结构体成员:

存放整型数组的指针 : int *a

整个数组的元素个数 : int size

整个数组的的容量 : int capacity

b. 初始化结构体

size = 0

让 a 动态开辟 4 * sizeof(int) 个字节

capacity = 4

c. 放入元素

创建一个自定义函数放入元素

注意:

若 size ==capacity,开辟 sizeof( int ) * capacity * 2 的字节

capacity = capacity * 2

先一个个从插入元素,再进行调整(这里我们用向上调整法)

size++

d. 判断是否为空

创建一个自定义函数,判断数组里面是否还有元素很简单,只要判断

size == 0 即可

e. 删除元素(这里我们的删除一定是删除根节点的值)

创建一个自定义函数删除元素

删除元素第一步是一定要判断是否为空

为了继续维护堆,我们需要一个元素覆盖根节点的值,从而抹去这个值,但是如果根节点与它的子节点直接进行覆盖,会破坏之前的大堆(或 小堆)

所以我们的办法是:

把根节点的值与最后一个值交换(保证其它的父子关系不变)

size--

我们再使用 向下调整法

f. 打印堆

g. 释放堆的空间


代码

#include<stdio.h>
#include<assert.h>
#include<stdlib.h>
typedef struct HeapList
{int* a;int size;int capacity;
}HP;
void InitHeap(HP *heap)
{int* pa = (int*)malloc(sizeof(int) *  4);if (pa == NULL){perror("realloc");return;}heap->a = pa;heap->capacity = 4;heap->size = 0;
}
void swap(int* p1, int* p2)
{if (*p1 == *p2){return;}else{int tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;}
}
void upAdjust(int* pa, int n)
{for (int i = 1; i < n; i++){int child = i;int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){if (pa[parent] > pa[child]){swap(&pa[parent], &pa[child]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}}}
void downAdjust(int* pa, int parent, int n)
{int child = parent * 2 + 1;while (child < n){if (child + 1 < n && pa[child] > pa[child + 1]){child++;}if (pa[parent] > pa[child]){swap(&pa[parent], &pa[child]);}parent = child;child = parent * 2 + 1;}
}
void HeapPush(HP* heap ,int x)
{if (heap->size == heap->capacity){int* pa = (int*)realloc(heap->a, sizeof(int) * heap->capacity * 2);if (pa == NULL){perror("realloc");return;}heap->a = pa;heap->capacity = heap->capacity * 2;}heap->a[heap->size] = x;heap->size++;upAdjust(heap->a, heap->size);
}
bool IsEmpty(HP* heap)
{return heap->size == 0;
}
void HeapPop(HP* heap)
{assert(!IsEmpty(heap));swap(&heap->a[0], &heap->a[heap->size - 1]);heap->size--;downAdjust(heap->a, 0, heap->size);
}
void PrintHeap(HP* heap)
{for (int i = 0; i < heap->size; i++){printf("%d ", heap->a[i]);}printf("\n");
}
void DestoryHeap(HP* heap)
{free(heap->a);heap->a = NULL;heap->size = heap->capacity = 0;
}

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