1. 孔多塞陪审团定理和多样性预测定理

• 孔多塞陪审团定理（Condorcet jury theorem）

  • 从一个解释多数规则长处的模型中推导出来的

  • 通过构建多个模型并使用多数规则，将比只使用其中一个模型更加准确

  • 依赖于**世界状态（state of world）**的概念，它是对所有相关信息的完整描述

  • 如果许多模型都导致相似的结果，那我们就得到了一个强有力的定理，它基本上不受模型细节的影响

  • 我们的真理就是若干独立的谎言的交集

  • 当许多模型都给出了相同的分类时，我们会信心大增

• 多样性预测定理（Diversity prediction theorem）

  • 用于给出数值预测或估值的模型
  • 它量化了模型的准确性和多样性对所有模型平均准确性的贡献

  $$\begin{gathered} 多模型误差=平均模型误差-模型预测的多样性 \\ (\overline{M}-V{)}^2=\sum _{i=1}^N\frac{(M_i-V)}{N}-\sum _{i=1}^N\frac{(M_i-\overline{M})}{N} \\ {M}_i:模型i的预测 \\ \overline{M}:模型的平均值 \\ V:真值 \end{gathered}$$

  • 相反类型的误差会相互抵消

  • 两个模型的误差相互抵消，模型的平均值将比任何一个模型更加准确

  • 即使两个模型预测值都太高，这些预测值的平均误差仍然不会比两个高预测值的平均误差更糟

  • 群体的智慧（Wisdom of crowds）：任何多样性的模型的集合将比其普遍成员的预测更加准确

2. 分类模型

• 将世界状态划分为不相交的

• 对世界分类的10个范畴

  • 实体（substance）
  • 数量（quantity）
  • 地点（location）
  • 状态（positioning）
  • ···

• 相关属性的数量限制了不同类别的数量。因此也就限制了有用模型的数量

• 分类模型

  • 存在一组世界的对象或状态，每个对象或状态都由一组属性定义，每个属性都有一个值
  • 根据对象的属性，分类模型$M$将对象或状态划分为一个有限的类别 { S 1 , S 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , S n } \{S_1,S_2,···,S_n\} {S1​,S2​,⋅⋅⋅,Sn​}，然后给每个类别赋值 { M 1 , M 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , M n } \{M_1,M_2,···,M_n\} {M1​,M2​,⋅⋅⋅,Mn​}

• 虽然增加模型可以提高准确性，但是在已经拥有了一定数量的模型之后再继续添加模型，每个模型的边际贡献就会下降

• 如果能构建出多个多样性的、准确的模型，我们就可以做出准确的预测和估值，并选择正确的行动

3. 适当的模型粒度

• 通过简化，我们可以应用逻辑来解释现象、交流思想、并探索各种各样的可能性

• 我们拥有的数据越多，模型就越精细

• 创造过多的类别会导致对数据的过度拟合，而过度拟合会破坏对未来事件的预测

• 分类误差（Categorization error）：每个类别中，数据均值的误差

  • 与类别数量成正比

• 估值误差（Valuation error）：估计均值的误差

  • 与类别数量成反比

• 模型误差分解定理（model error decomposition theorem）
  $$\begin{gathered} 偏差-方差权衡（bias-variancetrade-off） \\ 模型误差=分类误差+估值误差 \\ \sum _{x\in X}(M(x)-V(x){)}^2=\sum _{i=1}^n\sum _{x\in S_i}(V(x)-V_i{)}^2+\sum _{i=1}^n(M_i-V_i{)}^2 \\ M(x):数据点x的模型值 \\ {M}_i:类别S_i的模型值 \\ V(x):数据点x的实际值 \\ {V}_i:类别S_i的实际值 \end{gathered}$$

4. 一对多

• 我们不能随便拿起一个模型就将它应用到任何情境之中，但是，大多数模型都是灵活的

更高的幂

超级油轮

• 设邮轮为一个长方体，且宽和高为$S$，长度为$8S$
• 则表面积为$34S^2$，体积为$8S^3$
• 表面积决定成本，体积决定收益

$$\frac{体积}{表面积}=\frac{8S^3}{34S^2}\approx \frac{S}{4}$$

• 随着$S$的增长，盈利能力呈线性增长

身体质量指数

• 设人体为一个近似完美的立方体，且1立方米立方体的重量为$M$，身高为$H$

$$BMI=\frac{M{H}^3}{H^2}=HM$$

• 此时模型有2个缺陷
  • 身高本应与肥胖无关
  • 肌肉发达是肥胖的对立面
• 解决方法
  • 添加参数$d$表示一个人的“深度”（前胸到后背的厚度）
  • 添加参数$w$表示一个人的“宽度”

$$BMI=\frac{H\ast (dH)\ast (wH)\ast M}{H^2}=dwHM$$

代谢率

• 设小鼠和大象皆为一个近似完美的立方体，且身体由$1c{m}^3$的细胞组成，小鼠表面积为$14c{m}^2$，体积为$3c{m}^3$，大象表面积为$57600c{m}^2$，体积为$864000c{m}^3$

$$\begin{gathered} 小鼠:\frac{表面积}{体积}=\frac{14c{m}^3}{3c{m}^3}\approx 5 \\ 大象:\frac{表面积}{体积}=\frac{57600c{m}^3}{864000c{m}^3}\approx \frac{1}{15} \end{gathered}$$

• 小鼠每立方厘米的细胞，就有$5c{m}^2$的体表皮肤来散热
• 大象每立方厘米的细胞，仅有$\frac{1}{15}c{m}^2$的体表皮肤来散热
• 综上，小鼠散热的速度是大象的$75$倍

女性CEO

• 设成为一名CEO，至少要升职$15$次
• 并且升职时会出现有利于男性的偏差，即男性的升职率略高于女性，则设两个概率分别为$50\%$和$40\%$

$$\begin{gathered} 男性:(50\%{)}^{15}=0.000030517578125 \\ 女性:(40\%{)}^{15}=0.000001073741824 \\ \frac{男性}{女性}=\frac{0.000030517578125}{0.000001073741824}\approx 30 \end{gathered}$$

• 差异的累计最终成为非常巨大的差异

5. 多模型思维

• 成功的一对多思维取决于创造性地调整假设和构建新的类比，以便将为某个特定目的而开发的模型应用到新的领域
• 要成为一个多模型思考者，需要的不仅仅是数学能力，更需要的是创造力