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【动态规划+空间优化】【数组】【2023-12-17】

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题目来源

746. 使用最小花费爬楼梯

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解题思路

方法一：动态规划

思路

假设数组 cost 的长度为 n，则 n 阶楼梯分别对应下标 0 到 n-1，楼层顶部对应下标 n，问题等价于计算到达下标 n 的最小花费。可以通过动态规划解决。

接下来对动态规划四部曲的每一步进行具体分析。

状态

创建长度为 n+1 的数组 dp，dp[i] 表示到达下标 i 的最小花费。

转移关系

因为每次爬楼梯可以爬一阶也可以爬两阶，所以到达下标 i 对应的楼层可以有以下两种方式：

• 从下标 i-1 处使用 cost[i-1] 的花费到达下标 i；
• 从下标 i-2 处使用 cost[i-1] 的花费到达下标 i。

于是，在 2 <= i <= n 时，有如下的状态转移关系：

$$dp[i]=min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2])$$

base case

由于可以选择下标 0 或 1 作为初始阶梯，并且花费为 0，因此有 dp[0]=dp[1]=0。

最后返回

最后返回 dp[n]，表示到达顶层的最小花费。

算法

class Solution {
public:int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {int n = cost.size();vector<int> dp(n+1);dp[0] = dp[1] = 0;for (int i = 2; i <= n; ++i) {dp[i] = min(dp[i-1] + cost[i-1], dp[i-2] + cost[i-2]);}return dp[n];}
};

复杂度分析

时间复杂度：$O(n)$，$n$ 是数组 cost 的长度。

空间复杂度：$O(n)$。

空间优化

思路

观察方法一中的转移关系，我们知道当 i >= 2 时，dp[i] 只和 dp[i-1] 和 dp[i-2] 有关，因此可以使用滚动数组将空间复杂度优化到 O(1)。

算法

class Solution {
public:int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {int n = cost.size();int prev = 0, curr = 0;for (int i = 2; i <= n; ++i) {int next = min(curr + cost[i-1], prev + cost[i-2]);prev = curr;curr = next;}return curr;}
};

复杂度分析

时间复杂度：$O(n)$，$n$ 是数组 cost 的长度。

空间复杂度：$O(1)$。

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写在最后

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