《哥德尔证明》阅读笔记——一致性问题

前言

从第一次了解到哥德尔不确定性原理时,我就被此定理的内涵和意义所吸引,也对这个定理的证明过程充满兴趣,最近闲暇时,买了这本《哥德尔证明》的书,希望理解这个意义重大的数学定理的核心,在此做一个阅读笔记。

背景

提哥德尔不确定性原理就不得不追溯到一个古老且优美的数学思想“公理化方法”,公理化方法最早来自于古希腊的欧氏几何,欧几里得通过五条公理或公设,再加上对点线面这些概念的定义,运用逻辑推理,导出了几何学的众多定理。

高斯,波尔约,罗巴切夫斯基和黎曼等人通过更改欧几里得第五公设,得到了另一套完全不同的几何学公理,这剧烈动摇了数学家对公理的看法,公理的显然性,自明性不再是纯数学家关注的重点,纯数学家的任务应当时从公理推导出定理,而不需要关心公理是否为真。

数学不应当被视为数量的科学,更恰当的说法应当是对任意给定一组公理,得出其逻辑上蕴涵的结论的学科,它不必和任何实物有对应关系。此时我们对公理化几何学有了进一步的认识,我们甚至可以去掉定义,“点”,“线”,“面”这些概念是无需定义的,因为在公理化体系中它们没有任何意义,它们只是用于承载公理,也可以理解为,它们被公理隐式定义。总而言之,不要关注我们所讨论的“陈述”,只需要关注“陈述”之间的逻辑依赖。用罗素的话总结,纯数学是一门我们不知道自己在说什么,也不知道我们说的是否为真的学科

一片完全抽象的土地,完全没有任何实际世界的信标,一个很精妙的词语形容是“形式化”的,我们可以建立各种各样的形式化的系统,这些系统可能可以往现实世界进行映射,比如几何学,也可能只有形式的推理过程,这不是什么大问题,一个真正的核心问题是,一个形式化的系统,他的根基——一组公理,是否是一致的,即公理导出的定理是否无矛盾。

公理是否一致的模型法

对欧几里得几何来说,有一条可靠的原则能保证其一致性,即逻辑上不相容的陈述不可能同时为真。这里我们说真,是指欧几里得五大公理在我们的经验中都是真命题,此时说的是形式系统的现实映射。

对于非欧几何或者其他抽象的形式系统来说,想通过和欧氏几何一样的方法说明公理的一致性,只有通过建立一种解释或模型,如果可以将公理转换为这种解释下的真陈述,就可以确定抽象公理的一致性。

这套方法的原理是什么,我的理解是,这相当于将公理的一致性依托在一个我们现实世界的模型中,在模型和抽象的公理体系中做了一个同构,这个模型可以存在,就说明了公理体系的结构也无矛盾。

一个形式系统示例

假设我们有类的概念,表示可区分成分的组合,其中每个成分成为类的元素,有 K K K L L L两个集合,那么可以建立一套公理:

  • K K K任意两个元素恰好包含在 L L L的一个元素之中
  • 没有 K K K的元素被包含在 L L L的两个以上元素之中
  • K K K的所有元素并不都包含在 L L L的单个元素之中
  • L L L的任意两个元素恰好包含 K K K的一个元素
  • 没有 L L L的元素包含 K K K的两个以上的元素

这一套公理体系足够抽象,无法按直观理解,我们即不知道元素是什么,也不知道包含是什么意思,虽然如此,这套公理体系仍然可以导出一些定理。例如通过第一条公理和第三条公理,我们可以知道 K K K的元素数目必然大于 2 2 2,甚至可以证明出 K K K元素数目一定为 3 3 3

事实上,我们可以找到一个常见的模型,把所有公理映射为关于此模型的真陈述,此映射为: K K K的元素是三角形的三个顶点, L L L的元素是三角形的三个边,包含的含义视为 L L L的元素代表的边是否连着 K K K代表的顶点。那么这套公理映射到这套模型中就是:

  • 三角形任意两个顶点在三角形一个边上。
  • 三角形任何顶点都不会连两个以上的边。
  • 三角形任何一个边,都不可能连所有顶点。
  • 三角形任意两个边,恰好会连同一个顶点。
  • 三角形任意一个边都不可能连三个顶点。

这些都是真陈述,因此这个形式系统的公理是一致的。

关于一致性的再次追问

使用最严格的态度追问,即便我们所说的模型论是能证明公理系统的一致性的,欧几里得几何学的公理转换为日常经验描述,在我们所属的模型,即日常的平直空间中是正确的吗?我们可以在有穷的事实中确定其“可能正确”,但空间是无限的,我们怎么能确信日常经验能推到无穷的空间呢?三角形那个形式系统是确信无疑的,因为他的模型是可数的,我们可以尽情检验所有边和点。两者有根本区别。

希尔伯特借助笛卡尔坐标系,将欧几里得几何映射为代数学,但这仍然无法回避那个核心的问题,我们没有一个无穷的可信的模型作为源头。遗憾的是,大部分公理系统都只能映射到非无穷模型。

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