存爱至死不渝 | 双向奔赴的 BFS 算法 — 双向广搜

双向广搜

    • 算法思想
    • 算法特点
    • 适用场景
    • 实现方式
    • 例题
      • 字串变换
        • 题目描述
        • 输入格式
        • 输出格式
        • 程序代码

算法思想

传统的 BFS 算法是从起始节点开始,逐层地访问图中的所有节点,直到到达目标节点。BFS 的时间复杂度为 O ( b d ) O(b^d) O(bd),其中 b 是每个节点的平均分支因子,d 是目标节点的深度。

双向广搜是一种优化的 BFS 算法,它同时从起始节点和目标节点开始搜索,当两个搜索方向相遇时,就找到了一条最短路径。双向搜索的时间复杂度是 O ( b d / 2 ) O(b^{d/2}) O(bd/2)

简单来说,传统的 BFS 算法就好比恋爱的双方,只有一方默默付出,直到与另一方汇合。而双向广搜则是恋爱双方的双向奔赴,他们最终会在奔赴的过程中汇合。

算法特点

与传统的 BFS 相比,双向广搜可以减少搜索空间的大小,因此比传统的 BFS 搜索速度更快。

同时,双向广搜可以减少搜索队列的长度,因此与传统的 BFS 相比,更不容易爆内存。

适用场景

当起始节点和目标节点都已知时。

实现方式

  1. 起点和终点,各自迈出一步【你付出,我也付出,但是不关注谁付出的多】
  2. 起点和终点,谁的搜索队列元素较少,谁迈出去一步【谁付出的少,谁付出】

例题

字串变换

题目描述

原题链接

已知有两个字串 A , B A,B A,B 及一组字串变换的规则(至多 6 6 6 个规则),形如:

  • A 1 → B 1 A_1\to B_1 A1B1
  • A 2 → B 2 A_2\to B_2 A2B2

规则的含义为:在 A A A 中的子串 A 1 A_1 A1 可以变换为 $ B_1 , , A_2$ 可以变换为 B 2 ⋯ B_2\cdots B2

例如: A = abcd A=\texttt{abcd} A=abcd B = xyz B=\texttt{xyz} Bxyz

变换规则为:

  • abc → xu \texttt{abc}\rightarrow\texttt{xu} abcxu ud → y \texttt{ud}\rightarrow\texttt{y} udy y → yz \texttt{y}\rightarrow\texttt{yz} yyz

则此时, A A A 可以经过一系列的变换变为 B B B,其变换的过程为:

  • abcd → xud → xy → xyz \texttt{abcd}\rightarrow\texttt{xud}\rightarrow\texttt{xy}\rightarrow\texttt{xyz} abcdxudxyxyz

共进行了 3 3 3 次变换,使得 A A A 变换为 B B B

输入格式

第一行有两个字符串 A , B A,B A,B

接下来若干行,每行有两个字符串 A i , B i A_i,B_i Ai,Bi,表示一条变换规则。

输出格式

若在 10 10 10 步(包含 10 10 10 步)以内能将 A A A 变换为 B B B,则输出最少的变换步数;否则输出 NO ANSWER!

程序代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#include <queue>
#include <unordered_map>using namespace std;const int N = 10;
string A, B;  // 起点和终点
string a[N], b[N];  // 匹配规则
int n;// 扩展函数
// start:与起点的距离
// end:与终点的距离
// src:匹配源
// dst:匹配目标
int extend(queue<string>& q, unordered_map<string, int>& start, unordered_map<string, int>& end, string src[N], string dst[N]) {int d = start[q.front()];// 扩展一整层while(q.size() && start[q.front()] == d) {// 当前状态auto t = q.front();q.pop();for(int i = 0; i < n; i++) {// 找当前状态的匹配开始点for(int j = 0; j < t.size(); j++) {// 匹配成功if( t.substr(j, src[i].size()) == src[i] ) {// 替换后的结果string res = t.substr(0, j) + dst[i] + t.substr(j + src[i].size());// 汇合了if( end.count(res) )  return start[t] + end[res] + 1;if( start.count(res) )  continue;start[res] = start[t] + 1;q.push(res);}                }}}// 这一轮没汇合return 11;
}// 双向广搜:返回值为所需步数
int bfs()
{if( A == B )  return 0;queue<string> qa, qb;  // 各自的搜索队列// 当前状态到起点(终点)的距离unordered_map<string, int> da, db;qa.push(A);qb.push(B);da[A] = db[B] = 0;  // 初始化int step = 0;  // 已经进行步数// 由于是无向图,若其中一个搜索队列没有值,说明双方是不连通的while( qa.size() && qb.size() ) {int t;  // 记录最小步数// 从A扩展,匹配规则是a到bif( qa.size() <= qb.size() )  t = extend(qa, da, db, a, b);// 从B扩展,匹配规则是b到aelse  t = extend(qb, db, da, b, a);if( t <= 10 )  return t;if( ++step == 10 )  return -1;}// 不连通或步数大于10return -1;
}int main()
{cin >> A >> B;while( cin >> a[n] >> b[n] )  n++;// 双向广搜计算步数int step = bfs();if( step == -1 )  cout << "NO ANSWER!" << endl;else  cout << step << endl;return 0;
}

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