动态规划理论基础

什么是动态规划

动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。

所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的，贪心解决不了动态规划的问题。

大家知道动规是由前一个状态推导出来的，而贪心是局部直接选最优的，对于刷题来说就够用了。

动态规划的解题步骤

动态规划五部曲

确定dp数组（dp table）以及下标的含义
确定递推公式
dp数组如何初始化
确定遍历顺序
举例推导dp数组

动态规划应该如何debug

找问题的最好方式就是把dp数组打印出来，看看究竟是不是按照自己思路推导的！

509. 斐波那契数 - 力扣（LeetCode）

主要练习如何使用动态规划五部曲解题

class Solution:def fib(self, n: int) -> int:if n == 0:return 0elif n == 1:return 1dp = [0]*(n+1)dp[0] = 0dp[1] = 1for i in range(2, n+1):dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2]return dp[-1]

注意，这题使用递归的话，时间复杂度是O(2^n)，因为结果无法复用

70. 爬楼梯 - 力扣（LeetCode）

其实本质就是菲波那切数列，每步会有一步到和两步到的方法，递推公式为dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]

class Solution:def climbStairs(self, n: int) -> int:if n == 1:return 1dp = [0]*ndp[0] = 1dp[1] = 2for i in range(2, n):dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]return dp[-1]

更优化的方法可以降低空间复杂度：

def climbStairs(n):if n == 1:return 1if n == 2:return 2prev1 = 1prev2 = 2for i in range(3, n + 1):current = prev1 + prev2prev1 = prev2prev2 = currentreturn prev2

通过使用变量而不是数组，我们将空间复杂度降低到了 O(1)。

746. 使用最小花费爬楼梯 - 力扣（LeetCode）

dp[i]代表到达下标为i的台阶最少需要花费多少钱
递推公式为dp[i] = min(dp[i-1]+cost[i-1], dp[i-2]+cost[i-2])
初始化为0
遍历顺序为从左往右
打印dp检查

class Solution:def minCostClimbingStairs(self, cost: List[int]) -> int:n = len(cost)dp = [0]*(n+1)for i in range(2, n+1):dp[i] = min(dp[i-1]+cost[i-1], dp[i-2]+cost[i-2])return dp[-1]

可以在此基础上优化空间复杂度，代码如下

class Solution:def minCostClimbingStairs(self, cost: List[int]) -> int:dp0 = 0  # 初始值，表示从起点开始不需要花费体力dp1 = 0  # 初始值，表示经过第一步不需要花费体力for i in range(2, len(cost) + 1):# 在第i步，可以选择从前一步（i-1）花费体力到达当前步，或者从前两步（i-2）花费体力到达当前步# 选择其中花费体力较小的路径，加上当前步的花费，得到当前步的最小花费dpi = min(dp1 + cost[i - 1], dp0 + cost[i - 2])dp0 = dp1  # 更新dp0为前一步的值，即上一次循环中的dp1dp1 = dpi  # 更新dp1为当前步的最小花费return dp1  # 返回到达楼顶的最小花费