文章目录

• • • 一、图论
    • • 1.1.图的简介
      • 1.2.图的表示
      • • 邻接矩阵
        • 邻接表
    • 二、封装图结构
    • • 2.1.添加字典类和队列类
      • 2.2.创建图类
      • 2.3.添加顶点与边
      • 2.4.转换为字符串输出
      • 2.5.图的遍历
      • • 广度优先搜索
        • 深度优先搜索
      • 2.6.完整实现

一、图论

1.1.图的简介

什么是图？

• 图结构是一种与树结构有些相似的数据结构；
• 图论是数学的一个分支，并且，在数学中，树是图的一种；
• 图论以图为研究对象，研究顶点和边组成的图形的数学理论和方法；
• 主要的研究目的为：事物之间的联系，顶点代表事物，边代表两个事物间的关系；

图的特点：

• 一组顶点：通常用 V （Vertex）表示顶点的集合；
• 一组边：通常用 E（Edge）表示边的集合；
  • 边是顶点和顶点之间的连线；
  • 边可以是有向的，也可以是无向的。比如A----B表示无向，A —> B 表示有向；

图的常用术语：

• 顶点：表示图中的一个节点；
• 边：表示顶点和顶点给之间的连线；
• 相邻顶点：由一条边连接在一起的顶点称为相邻顶点；
• 度：一个顶点的度是相邻顶点的数量；
• 路径：
  • 简单路径： 简单路径要求不包含重复的顶点；
  • 回路：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路；
• 无向图：图中的所有边都是没有方向的；
• 有向图：图中的所有边都是有方向的；
• 无权图： 无权图中的边没有任何权重意义；
• 带权图： 带权图中的边有一定的权重含义；

1.2.图的表示

邻接矩阵

表示图的常用方式为：邻接矩阵。

• 可以使用二维数组来表示邻接矩阵；
• 邻接矩阵让每个节点和一个整数相关联，该整数作为数组的下标值；
• 使用一个二维数组来表示顶点之间的连接；

如上图所示：

• 二维数组中的0表示没有连线，1表示有连线；
• 如：A[ 0 ] [ 3 ] = 1，表示 A 和 C 之间有连接；
• 邻接矩阵的对角线上的值都为0，表示A - A ，B - B，等自回路都没有连接（自己与自己之间没有连接）；
• 若为无向图，则邻接矩阵应为对角线上元素全为0的对称矩阵；

邻接矩阵的问题：

• 如果图是一个稀疏图，那么邻接矩阵中将存在大量的 0，造成存储空间的浪费；

邻接表

另外一种表示图的常用方式为：邻接表。

• 邻接表由图中每个顶点以及和顶点相邻的顶点列表组成；
• 这个列表可用多种方式存储，比如：**数组/链表/字典（哈希表）**等都可以；

如上图所示：

• 图中可清楚看到A与B、C、D相邻，假如要表示这些与A顶点相邻的顶点（边），可以通过将它们作为A的值（value）存入到对应的数组/链表/字典中。
• 之后，通过键（key）A可以十分方便地取出对应的数据；

邻接表的问题：

• 邻接表可以简单地得出出度，即某一顶点指向其他顶点的个数；
• 但是，邻接表计算入度（指向某一顶点的其他顶点的个数称为该顶点的入度）十分困难。此时需要构造逆邻接表才能有效计算入度；

二、封装图结构

在实现过程中采用邻接表的方式来表示边，使用字典类来存储邻接表。

2.1.添加字典类和队列类

首先需要引入之前实现的，之后会用到的字典类和队列类：

    //封装字典类
function Dictionary(){//字典属性this.items = {}//字典操作方法//一.在字典中添加键值对Dictionary.prototype.set = function(key, value){this.items[key] = value}//二.判断字典中是否有某个keyDictionary.prototype.has = function(key){return this.items.hasOwnProperty(key)}//三.从字典中移除元素Dictionary.prototype.remove = function(key){//1.判断字典中是否有这个keyif(!this.has(key)) return false//2.从字典中删除keydelete this.items[key]return true}//四.根据key获取valueDictionary.prototype.get = function(key){return this.has(key) ? this.items[key] : undefined}//五.获取所有keysDictionary.prototype.keys = function(){return Object.keys(this.items)}//六.size方法Dictionary.prototype.keys = function(){return this.keys().length}//七.clear方法Dictionary.prototype.clear = function(){this.items = {}}
}// 基于数组封装队列类function Queue() {// 属性this.items = []// 方法// 1.将元素加入到队列中Queue.prototype.enqueue = element => {this.items.push(element)}// 2.从队列中删除前端元素Queue.prototype.dequeue = () => {return this.items.shift()}// 3.查看前端的元素Queue.prototype.front = () => {return this.items[0]}// 4.查看队列是否为空Queue.prototype.isEmpty = () => {return this.items.length == 0;}// 5.查看队列中元素的个数Queue.prototype.size = () => {return this.items.length}// 6.toString方法Queue.prototype.toString = () => {let resultString = ''for (let i of this.items){resultString += i + ' '}return resultString}}

2.2.创建图类

先创建图类Graph，并添加基本属性，再实现图类的常用方法：

    //封装图类function Graph (){//属性：顶点(数组)/边(字典)this.vertexes = []  //顶点this.edges = new Dictionary() //边}

2.3.添加顶点与边

如图所示：

创建一个数组对象vertexes存储图的顶点；创建一个字典对象edges存储图的边，其中key为顶点，value为存储key顶点相邻顶点的数组。

代码实现：

      //添加方法//一.添加顶点Graph.prototype.addVertex = function(v){this.vertexes.push(v)this.edges.set(v, []) //将边添加到字典中，新增的顶点作为键，对应的值为一个存储边的空数组}//二.添加边Graph.prototype.addEdge = function(v1, v2){//传入两个顶点为它们添加边this.edges.get(v1).push(v2)//取出字典对象edges中存储边的数组，并添加关联顶点this.edges.get(v2).push(v1)//表示的是无向表，故要添加互相指向的两条边}

2.4.转换为字符串输出

为图类Graph添加toString方法，实现以邻接表的形式输出图中各顶点。

代码实现：

      //三.实现toString方法:转换为邻接表形式Graph.prototype.toString = function (){//1.定义字符串，保存最终结果let resultString = ""//2.遍历所有的顶点以及顶点对应的边for (let i = 0; i < this.vertexes.length; i++) {//遍历所有顶点resultString += this.vertexes[i] + '-->'let vEdges = this.edges.get(this.vertexes[i])for (let j = 0; j < vEdges.length; j++) {//遍历字典中每个顶点对应的数组resultString += vEdges[j] + '  ';}resultString += '\n'}return resultString}

测试代码：

   //测试代码//1.创建图结构let graph = new Graph()//2.添加顶点let myVertexes = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H', 'I']for (let i = 0; i < myVertexes.length; i++) {graph.addVertex(myVertexes[i])}//3.添加边graph.addEdge('A', 'B')graph.addEdge('A', 'C')graph.addEdge('A', 'D')graph.addEdge('C', 'D')graph.addEdge('C', 'G')graph.addEdge('D', 'G')graph.addEdge('D', 'H')graph.addEdge('B', 'E')graph.addEdge('B', 'F')graph.addEdge('E', 'I')//4.输出结果console.log(graph.toString());

测试结果：

2.5.图的遍历

图的遍历思想：

• 图的遍历思想与树的遍历思想一样，意味着需要将图中所有的顶点都访问一遍，并且不能有重复的访问（上面的toString方法会重复访问）；

遍历图的两种算法：

• 广度优先搜索（Breadth - First Search，简称BFS）;
• 深度优先搜索（Depth - First Search，简称DFS）;
• 两种遍历算法都需要指定第一个被访问的顶点；

为了记录顶点是否被访问过，使用三种颜色来表示它们的状态

• 白色：表示该顶点还没有被访问过；
• 灰色：表示该顶点被访问过，但其相邻顶点并未完全被访问过；
• 黑色：表示该顶点被访问过，且其所有相邻顶点都被访问过；

首先封装initializeColor方法将图中的所有顶点初始化为白色，代码实现如下：

      //四.初始化状态颜色Graph.prototype.initializeColor = function(){let colors = []for (let i = 0; i < this.vertexes.length; i++) {colors[this.vertexes[i]] = 'white';}return colors}

广度优先搜索

广度优先搜索算法的思路：

• 广度优先搜索算法会从指定的第一个顶点开始遍历图，先访问其所有的相邻顶点，就像一次访问图的一层；
• 也可以说是先宽后深地遍历图中的各个顶点；

实现思路：

基于队列可以简单地实现广度优先搜索算法：

• 首先创建一个队列Q（尾部进，首部出）；
• 调用封装的initializeColor方法将所有顶点初始化为白色；
• 指定第一个顶点A，将A标注为灰色（被访问过的节点），并将A放入队列Q中；
• 循环遍历队列中的元素，只要队列Q非空，就执行以下操作：
  • 先将灰色的A从Q的首部取出；
  • 取出A后，将A的所有未被访问过（白色）的相邻顶点依次从队列Q的尾部加入队列，并变为灰色。以此保证，灰色的相邻顶点不重复加入队列；
  • A的全部相邻节点加入Q后，A变为黑色，在下一次循环中被移除Q外；

代码实现：

      //五.实现广度搜索(BFS)//传入指定的第一个顶点和处理结果的函数Graph.prototype.bfs = function(initV, handler){//1.初始化颜色let colors = this.initializeColor()//2.创建队列let que = new Queue()//3.将顶点加入到队列中que.enqueue(initV)//4.循环从队列中取出元素，队列为空才停止while(!que.isEmpty()){//4.1.从队列首部取出一个顶点let v = que.dequeue()//4.2.从字典对象edges中获取和该顶点相邻的其他顶点组成的数组let vNeighbours = this.edges.get(v)//4.3.将v的颜色变为灰色colors[v] = 'gray'//4.4.遍历v所有相邻的顶点vNeighbours,并且加入队列中for (let i = 0; i < vNeighbours.length; i++) {const a = vNeighbours[i];//判断相邻顶点是否被探测过，被探测过则不加入队列中；并且加入队列后变为灰色，表示被探测过if (colors[a] == 'white') {colors[a] = 'gray'que.enqueue(a)}}//4.5.处理顶点vhandler(v)//4.6.顶点v所有白色的相邻顶点都加入队列后，将顶点v设置为黑色。此时黑色顶点v位于队列最前面，进入下一次while循环时会被取出colors[v] = 'black'}}

过程详解：

下为指定的第一个顶点为A时的遍历过程：

• 如 a 图所示，将在字典edges中取出的与A相邻的且未被访问过的白色顶点B、C、D放入队列que中并变为灰色，随后将A变为黑色并移出队列；
• 接着，如图 b 所示，将在字典edges中取出的与B相邻的且未被访问过的白色顶点E、F放入队列que中并变为灰色，随后将B变为黑色并移出队列；

• 如 c 图所示，将在字典edges中取出的与C相邻的且未被访问过的白色顶点G（A，D也相邻不过已变为灰色，所以不加入队列）放入队列que中并变为灰色，随后将C变为黑色并移出队列；
• 接着，如图 d 所示，将在字典edges中取出的与D相邻的且未被访问过的白色顶点H放入队列que中并变为灰色，随后将D变为黑色并移出队列。

如此循环直到队列中元素为0，即所有顶点都变黑并移出队列后才停止，此时图中顶点已被全部遍历。

测试代码：

    //测试代码//1.创建图结构let graph = new Graph()//2.添加顶点let myVertexes = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H', 'I']for (let i = 0; i < myVertexes.length; i++) {graph.addVertex(myVertexes[i])}//3.添加边graph.addEdge('A', 'B')graph.addEdge('A', 'C')graph.addEdge('A', 'D')graph.addEdge('C', 'D')graph.addEdge('C', 'G')graph.addEdge('D', 'G')graph.addEdge('D', 'H')graph.addEdge('B', 'E')graph.addEdge('B', 'F')graph.addEdge('E', 'I')//4.测试bfs遍历方法let result = ""graph.bfs(graph.vertexes[0], function(v){result += v + "-"})console.log(result);

测试结果：

可见，安装了广度优先搜索的顺序不重复地遍历了所有顶点。

深度优先搜索

广度优先算法的思路：

• 深度优先搜索算法将会从指定的第一个顶点开始遍历图，沿着一条路径遍历直到该路径的最后一个顶点都被访问过为止；
• 接着沿原来路径回退并探索下一条路径，即先深后宽地遍历图中的各个顶点；

实现思路：

• 可以使用栈结构来实现深度优先搜索算法；
• 深度优先搜索算法的遍历顺序与二叉搜索树中的先序遍历较为相似，同样可以使用递归来实现（递归的本质就是函数栈的调用）。

基于递归实现深度优先搜索算法：定义dfs方法用于调用递归方法dfsVisit，定义dfsVisit方法用于递归访问图中的各个顶点。

在dfs方法中：

• 首先，调用initializeColor方法将所有顶点初始化为白色；
• 然后，调用dfsVisit方法遍历图的顶点；

在dfsVisit方法中：

• 首先，将传入的指定节点v标注为灰色；
• 接着，处理顶点V；
• 然后，访问V的相邻顶点；
• 最后，将顶点v标注为黑色；

代码实现：

      //六.实现深度搜索(DFS)Graph.prototype.dfs = function(initV, handler){//1.初始化顶点颜色let colors = this.initializeColor()//2.从某个顶点开始依次递归访问this.dfsVisit(initV, colors, handler)}//为了方便递归调用，封装访问顶点的函数，传入三个参数分别表示：指定的第一个顶点、颜色、处理函数Graph.prototype.dfsVisit = function(v, colors, handler){//1.将颜色设置为灰色colors[v] = 'gray'//2.处理v顶点handler(v)//3.访问V的相邻顶点let vNeighbours = this.edges.get(v)for (let i = 0; i < vNeighbours.length; i++) {let a = vNeighbours[i];//判断相邻顶点是否为白色，若为白色，递归调用函数继续访问if (colors[a] == 'white') {this.dfsVisit(a, colors, handler)}}//4.将v设置为黑色colors[v] = 'black'}

过程详解：

这里主要解释一下代码中的第3步操作：访问指定顶点的相邻顶点。

• 以指定顶点A为例，先从储存顶点及其对应相邻顶点的字典对象edges中取出由顶点A的相邻顶点组成的数组：

• 第一步：A顶点变为灰色，随后进入第一个for循环，遍历A白色的相邻顶点：B、C、D；在该for循环的第1次循环中（执行B），B顶点满足：colors == “white”，触发递归，重新调用该方法；
• 第二步：B顶点变为灰色，随后进入第二个for循环，遍历B白色的相邻顶点：E、F；在该for循环的第1次循环中（执行E），E顶点满足：colors == “white”，触发递归，重新调用该方法；
• 第三步：E顶点变为灰色，随后进入第三个for循环，遍历E白色的相邻顶点：I；在该for循环的第1次循环中（执行I），I顶点满足：colors == “white”，触发递归，重新调用该方法；
• 第四步：I顶点变为灰色，随后进入第四个for循环，由于顶点I的相邻顶点E不满足：colors == “white”，停止递归调用。过程如下图所示：

• 第五步：递归结束后一路向上返回，首先回到第三个for循环中继续执行其中的第2、3…次循环，每次循环的执行过程与上面的同理，直到递归再次结束后，再返回到第二个for循环中继续执行其中的第2、3…次循环…以此类推直到将图的所有顶点访问完为止。

下图为遍历图中各顶点的完整过程：

• 发现表示访问了该顶点，状态变为灰色；
• 探索表示既访问了该顶点，也访问了该顶点的全部相邻顶点，状态变为黑色；
• 由于在顶点变为灰色后就调用了处理函数handler，所以handler方法的输出顺序为发现顶点的顺序即：A、B、E、I、F、C、D、G、H 。

测试代码：

    //测试代码//1.创建图结构let graph = new Graph()//2.添加顶点let myVertexes = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H', 'I']for (let i = 0; i < myVertexes.length; i++) {graph.addVertex(myVertexes[i])}//3.添加边graph.addEdge('A', 'B')graph.addEdge('A', 'C')graph.addEdge('A', 'D')graph.addEdge('C', 'D')graph.addEdge('C', 'G')graph.addEdge('D', 'G')graph.addEdge('D', 'H')graph.addEdge('B', 'E')graph.addEdge('B', 'F')graph.addEdge('E', 'I')//4.测试dfs遍历顶点let result = ""graph.dfs(graph.vertexes[0], function(v){result += v + "-"})console.log(result);

测试结果：

2.6.完整实现

    //封装图结构function Graph (){//属性：顶点(数组)/边(字典)this.vertexes = []  //顶点this.edges = new Dictionary() //边//方法//添加方法//一.添加顶点Graph.prototype.addVertex = function(v){this.vertexes.push(v)this.edges.set(v, []) //将边添加到字典中，新增的顶点作为键，对应的值为一个存储边的空数组}//二.添加边Graph.prototype.addEdge = function(v1, v2){//传入两个顶点为它们添加边this.edges.get(v1).push(v2)//取出字典对象edges中存储边的数组，并添加关联顶点this.edges.get(v2).push(v1)//表示的是无向表，故要添加互相指向的两条边}//三.实现toString方法:转换为邻接表形式Graph.prototype.toString = function (){//1.定义字符串，保存最终结果let resultString = ""//2.遍历所有的顶点以及顶点对应的边for (let i = 0; i < this.vertexes.length; i++) {//遍历所有顶点resultString += this.vertexes[i] + '-->'let vEdges = this.edges.get(this.vertexes[i])for (let j = 0; j < vEdges.length; j++) {//遍历字典中每个顶点对应的数组resultString += vEdges[j] + '  ';}resultString += '\n'}return resultString}//四.初始化状态颜色Graph.prototype.initializeColor = function(){let colors = []for (let i = 0; i < this.vertexes.length; i++) {colors[this.vertexes[i]] = 'white';}return colors}//五.实现广度搜索(BFS)//传入指定的第一个顶点和处理结果的函数Graph.prototype.bfs = function(initV, handler){//1.初始化颜色let colors = this.initializeColor()//2.创建队列let que = new Queue()//3.将顶点加入到队列中que.enqueue(initV)//4.循环从队列中取出元素while(!que.isEmpty()){//4.1.从队列中取出一个顶点let v = que.dequeue()//4.2.获取和顶点相相邻的其他顶点let vNeighbours = this.edges.get(v)//4.3.将v的颜色变为灰色colors[v] = 'gray'//4.4.遍历v所有相邻的顶点vNeighbours,并且加入队列中for (let i = 0; i < vNeighbours.length; i++) {const a = vNeighbours[i];//判断相邻顶点是否被探测过，被探测过则不加入队列中；并且加入队列后变为灰色，表示被探测过if (colors[a] == 'white') {colors[a] = 'gray'que.enqueue(a)}}//4.5.处理顶点vhandler(v)//4.6.顶点v所有白色的相邻顶点都加入队列后，将顶点v设置为黑色。此时黑色顶点v位于队列最前面，进入下一次while循环时会被取出colors[v] = 'black'}}//六.实现深度搜索(DFS)Graph.prototype.dfs = function(initV, handler){//1.初始化顶点颜色let colors = this.initializeColor()//2.从某个顶点开始依次递归访问this.dfsVisit(initV, colors, handler)}//为了方便递归调用，封装访问顶点的函数，传入三个参数分别表示：指定的第一个顶点、颜色、处理函数Graph.prototype.dfsVisit = function(v, colors, handler){//1.将颜色设置为灰色colors[v] = 'gray'//2.处理v顶点handler(v)//3.访问v相连的其他顶点let vNeighbours = this.edges.get(v)for (let i = 0; i < vNeighbours.length; i++) {let a = vNeighbours[i];//判断相邻顶点是否为白色，若为白色，递归调用函数继续访问if (colors[a] == 'white') {this.dfsVisit(a, colors, handler)}}//4.将v设置为黑色colors[v] = 'black'}}