题目

题意

在二维网格 $g r i d$ 上，有 $4$ 种类型的方格：

$1$ 表示起始方格。且只有一个起始方格。
$2$ 表示结束方格，且只有一个结束方格。
$0$ 表示我们可以走过的空方格。
$- 1$ 表示我们无法跨越的障碍。

返回在四个方向（上、下、左、右）上行走时，从起始方格到结束方格的不同路径的数目。
每一个无障碍方格都要通过一次，但是一条路径中不能重复通过同一个方格。

示例 1

输入： $[[1, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0], [0, 0, 2, - 1]]$
输出： $2$
解释：我们有以下两条路径：
$1. (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 3), (1, 2), (1, 1), (1, 0), (2, 0), (2, 1), (2, 2)$
$2. (0, 0), (1, 0), (2, 0), (2, 1), (1, 1), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 3), (1, 2), (2, 2)$

示例 2

输入： $[[1, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 2]]$
输出： $4$
解释：我们有以下四条路径：
$1. (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 3), (1, 2), (1, 1), (1, 0), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3)$
$2. (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 0), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (1, 2), (0, 2), (0, 3), (1, 3), (2, 3)$
$3. (0, 0), (1, 0), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (1, 2), (1, 1), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 3), (2, 3)$
$4. (0, 0), (1, 0), (2, 0), (2, 1), (1, 1), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 3), (1, 2), (2, 2), (2, 3)$

示例 3

输入： $[[0, 1], [2, 0]]$
输出： $0$
解释：没有一条路能完全穿过每一个空的方格一次。
请注意，起始和结束方格可以位于网格中的任意位置。

提示

$1 <= g r i d . l e n g t h * g r i d [0] . l e n g t h <= 20$

官方题解

回溯

思路

按照要求，假设矩阵中有 $n$ 个 $0$ ，那么一条合格的路径，是长度为 $(n + 1)$ ，由 $1$ 起始，结束于 $2$ ，不经过 $- 1$ ，且每个点只经过一次的路径。
要求出所有的合格的路径，可以采用回溯法，定义函数 $df s$ ，表示当前 $g r i d$ 状态下，从点 $(i, j)$ 出发，还要经过 $n$ 个点，走到终点的路径条数。
到达一个点时，

如果当前的点为终点，且已经经过了 $(n + 1)$ 个点，那么就构成了一条合格的路径，否则就不构成。
如果当前的点不为终点，则将当前的点标记为 $- 1$ ，表示这条路径以后不能再经过这个点，然后继续在这个点往四个方向扩展，如果不超过边界且下一个点的值为 $0$ 或者 $2$ ，则表示这条路径可以继续扩展。

探测完四个方向后，需要将当前的点的值改为原来的值。
将四个方向的合格路径求和，即为当前状态下合格路径的条数。
最终需要返回的是， $g r i d$ 在初始状态下，从起点出发，需要经过 $(n + 1)$ 个点的路径条数。

复杂度

时间复杂度：O(4^(r * c))，其中 $r$ 和 $c$ 分别是 $g r i d$ 的行数和列数。
空间复杂度：O(r * c)，是回溯的深度。

本人代码

Java

class Solution {public int uniquePathsIII(int[][] grid) {//获取路径总长度 n 和起始坐标 (x, y)int n = 0, x = 0, y = 0;for (int i = 0; i < grid.length; i++) {for (int j = 0; j < grid[i].length; j++) {if (grid[i][j] == 0) {n++;} else if (grid[i][j] == 1) {x = i;y = j;n++;}}}//开始递归寻路return dfs(x, y, n, grid);}public int dfs(int x, int y, int n, int[][] grid) {//防止越界和躲开障碍if (x < 0 || x >= grid.length || y < 0 || y >= grid[x].length || grid[x][y] == -1) {return 0;}//如果已经到达终点，并且剩余路径长度为 0//即已经找到一条符合要求的路径if (grid[x][y] == 2) {return n == 0 ? 1 : 0;}//记录路径数量int res = 0;//将走过的路置为 -1，不可再次通过int t = grid[x][y];grid[x][y] = -1;//往四个方向寻路res += dfs(x - 1, y, n - 1, grid);res += dfs(x + 1, y, n - 1, grid);res += dfs(x, y - 1, n - 1, grid);res += dfs(x, y + 1, n - 1, grid);//将走过的路重置为通路，不影响后面寻路grid[x][y] = t;return res;}
}