算法-05-二分查找

二分查找(Binary Search)算法,也叫折半查找算法,是一种针对有序数据集合的查找算法。

1-二分查找的思想

        我们生活中猜数字的游戏,告诉你一个数据范围,比如0-100,然后你说出一个数字,我告诉你的目标数字比你的大还是小,你继续猜,根据二分查找的思想,你只要几次就可以猜中。比如目标值68。

每次猜一个数字,通过告知结果后,排除掉一半的数字,这种思想就是二分查找。

      二分查找针对的是一个有序的数据集合,查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比,将待查找的区间缩小为之前的一半,直到找到要查找的元素,或者区间被缩小为0

      折半的思想从而使得二分查找的时间复杂度是O(logn)。这是一种极其高效的时间复杂度;因为logn是一个非常“恐怖”的数量级,即便n非常非常大,对应的logn也很小。比如n等于2的32次方,大约是42亿。也就是说,如果我们在42亿个数据中用二分查找一个数据,最多需要比较32次。

2-二分查找实现

       假设数组中不存在重复的元素(数组中的元素有序,并且从小到大排序好),查找数组中是否存在某个元素,存在就返回元素在数组中的下标;不存在就返回-1。

   /*** 查询数组中等于 target 的 索引* 数组中没有重复的元素** @param array  待查找的数组* @param target 目标值* @return 数组下标索引,没有查询到返回-1*/
private static int binarySearch01(int[] array, int target) {int low = 0;int high = array.length - 1;while (low <= high) {int mid = low + ((high - low) >> 1);if (array[mid] == target) {return mid;}if (array[mid] > target) {high = mid - 1;}if (array[mid] < target) {low = mid + 1;}}return -1;}

3-二分查找的特点

(1)二分查找依赖的是顺序表结构,简单点说就是数组。
(2)二分查找针对的是有序数据。
(3)数据量太小不适合二分查找。但是如果数据之间的比较操作非常耗时,不管数据量大小,我都推荐使用二分查找。比如,数组中存储的都是长度超过300的字符串,如此长的两个字符串之间比对大小,就会非常耗时。我们需要尽可能地减少比较次数,而比较次数的减少会大大提高性能,这个时候二分查找就比顺序遍历更有优势。
(4)数据量太大也不适合二分查找。二分查找的底层需要依赖数组这种数据结构,而数组为了支持随机访问的特性,要求内存空间连续,对内存的要求比较苛刻。

4-二分查找的变形问题

4.1-查找第一个值等于给定值的元素

      上面的二分查找算法中,要求数组中存在不重复的数字,现在我们取消这个限制,查找数组中第一个值等于给定值的元素。

    /*** 查询数组中第一个等于target的数字,返回数组的索引** @param array  目前数组* @param target 目标值* @return 数组下标索引,没有查询到返回-1*/private static int binarySearch02(int[] array, int target) {int low = 0;int high = array.length - 1;while (low <= high) {int mid = low + ((high - low) >> 1);if (array[mid] == target) {if ((mid == 0) || array[mid - 1] != target) {return mid;} else {high = mid - 1;}}if (array[mid] > target) {high = mid - 1;}if (array[mid] < target) {low = mid + 1;}}return -1;}

      如果mid等于0,那这个元素已经是数组的第一个元素,那它肯定是我们要找的;如果mid不等于0,但a[mid]的前一个元素a[mid-1]不等于value,那也说明a[mid]就是我们要找的第一个值等于给定值的元素。

4.2-查找最后一个值等于给定值的元素

      要求数组中存在不重复的数字,现在我们取消这个限制,查找数组中最后一个值等于给定值的元素。

    /*** 查询数组中最后一个等于target的数字,返回数组的索引** @param array  目前数组* @param target 目标值* @return 数组下标索引,没有查询到返回-1*/private static int binarySearch03(int[] array, int target) {int low = 0;int maxIndex = array.length - 1;int high = array.length - 1;while (low <= high) {int mid = low + ((high - low) >> 1);if (array[mid] == target) {if ((mid == maxIndex) || array[mid + 1] != target) {return mid;} else {low = mid + 1;}}if (array[mid] > target) {high = mid - 1;}if (array[mid] < target) {low = mid + 1;}}return -1;}

       如果a[mid]这个元素已经是数组中的最后一个元素了,那它肯定是我们要找的;如果a[mid]的后一个元素a[mid+1]不等于value,那也说明a[mid]就是我们要找的最后一个值等于给定值的元素。如果我们经过检查之后,发现a[mid]后面的一个元素a[mid+1]也等于value,那说明当前的这个a[mid]并不是最后一个值等于给定值的元素。我们就更新low=mid+1,因为要找的元素肯定出现在[mid+1, high]之间。

4.3-查找第一个大于等于给定值的元素

       对于a[mid]大于等于给定值value的情况,我们要先看下这个a[mid]是不是我们要找的第一个值大于等于给定值的元素。如果a[mid]前面已经没有元素,或者前面一个元素小于要查找的值value,那a[mid]就是我们要找的元素。如果a[mid-1]也大于等于要查找的值value,那说明要查找的元素在[low, mid-1]之间,所以,我们将high更新为mid-1。

  /*** 查询数组中查找第一个大于等于给定值的元素,返回数组的索引** @param array  目前数组* @param target 目标值* @return 数组下标索引,没有查询到返回-1*/private static int binarySearch04(int[] array, int target) {int low = 0;int high = array.length - 1;while (low <= high) {int mid = low + ((high - low) >> 1);if (array[mid] >= target) {if ((mid == 0) || array[mid - 1] < target) {return mid;} else {high = mid - 1;}} else {low = mid + 1;}}return -1;}

4.4-查找最后一个小于等于给定值的元素

       对于a[mid]小于等于给定值value的情况,我们要先看下这个a[mid]是不是我们要找的最后一个值小于等于给定值的元素。如果a[mid]后面已经没有元素,或者后面一个元素大于要查找的值value,那a[mid]就是我们要找的元素。如果a[mid+1]也小于等于要查找的值value,那说明要查找的元素在[mid+1, high]之间,所以,我们将low更新为mid+1。

    /*** 查询数组中查找最后一个小于等于给定值的元素,返回数组的索引** @param array  目前数组* @param target 目标值* @return 数组下标索引,没有查询到返回-1*/private static int binarySearch05(int[] array, int target) {int low = 0;int maxIndex = array.length - 1;int high = array.length - 1;while (low <= high) {int mid = low + ((high - low) >> 1);if (array[mid] <= target) {if ((mid == maxIndex) || array[mid + 1] > target) {return mid;} else {low = mid + 1;}}}return -1;}

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