acwing算法提高之动态规划--背包模型（三）

1 基础知识

暂无。。。

2 模板

暂无。。。

3 工程化

题目1：潜水员。

解题思路：DP。

状态定义f[i][j][k]：从前i个物品中选，氧气至少为j，氮气至少为k的最小方案数。

状态转移，以下情况的最小值，

不选择第i个物品，即f[i-1][j][k]。
选择第i个物品，即f[i - 1][j - v1[i]][k - v2[i]] + w[i]。（状态从i-1层转移过来的，故从大到小循环。）

同样地，可以将状态优化到二维。

初始化，f[i][j] = 0x3f3f3f3f，f[0][0] = 0。

最终答案，返回f[n][m]。

C++代码如下，

#include <iostream>
#include <cstring>using namespace std;const int N = 30, M = 90;
int n, m, k;
//n表示氧气需要的量
//m表示氮气需要的量
//k表示气缸的个数
int f[N][M];int main() {memset(f, 0x3f, sizeof f);f[0][0] = 0;cin >> n >> m >> k;while (k--) {int a, b, c;cin >> a >> b >> c;for (int i = n; i >= 0; --i) {for (int j = m; j >= 0; --j) {f[i][j] = min(f[i][j], f[max(i - a, 0)][max(j - b, 0)] + c);}}}cout << f[n][m] << endl;return 0;
}

题目2：背包问题求解具体方案数。

解题思路：求具体方案数不难，关键是求解字典序最小的，有些困难。

C++代码如下，

#include <iostream>using namespace std;const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];int main() {cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> v[i] >> w[i];for (int i = n; i >= 1; --i) {for (int j = 0; j <= m; ++ j) {f[i][j] = f[i + 1][j];if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i + 1][j - v[i]] + w[i]);}}int j = m;for (int i = 1; i <= n; ++i) {if (j >= v[i] && f[i][j] == f[i + 1][j - v[i]] + w[i]) {cout << i << " ";j -= v[i];}}return 0;
}

题目3：机器分配。

解题思路：分组背包问题求解最大价值和具体方案。

C++代码如下，

#include <iostream>using namespace std;const int N = 20;
int n, m;
int w[N][N]; //第i组第k台的价值
int f[N][N];
int s[N]; //第i组选了第多少台int main() {cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; ++i) {for (int k = 1; k <= m; ++k) {cin >> w[i][k];}}for (int i = 1; i <= n; ++i) {for (int j = 0; j <= m; ++j) {f[i][j] = f[i-1][j];for (int k = 1; k <= m; ++k) {if (j >= k) {f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j - k] + w[i][k]);}}}}cout << f[n][m] << endl;int j = m;for (int i = n; i >= 1; --i) {for (int k = 1; k <= m; ++k) {if (j >= k && f[i][j] == f[i-1][j - k] + w[i][k]) {s[i] = k;j -= k;break;}}}for (int i = 1; i <= n; ++i) {cout << i << " " << s[i] << endl;}return 0;
}

题目4：金明的预算方案。

解题思路：分组背包问题。

C++代码如下，

#include <iostream>
#include <vector>
#include <unordered_map>using namespace std;const int M = 32010;
int n, m;
int f[M];int main() {cin >> m >> n;//读入n个物品struct ITEM {ITEM(int a, int b) : v(a), w(b) {} //构造函数int v;//体积int w;//价格};vector<ITEM> items;items.emplace_back(ITEM(-1,-1));unordered_map<int, vector<int>> son; //son[i]表示物品i的附件们for (int i = 1; i <= n; ++i) {int v, p, q;cin >> v >> p >> q;ITEM item(v, p * v);items.emplace_back(item);if (q == 0) {//第i件物品是主件son[i].emplace_back(-1);son[i].pop_back();} else {//第i件物品是附件，它的主件是qson[q].emplace_back(i);}}//分组背包问题求解for (auto [i, vec] : son) {//遍历每一个主件i，和它的附件vecfor (int j = m; j >= 0; --j) {//考虑每一个附件for (int k = 0; k < 1 << vec.size(); ++k) {int v = items[i].v, w = items[i].w;//遍历每个附件for (int ii = 0; ii < vec.size(); ++ii) {if (k >> ii & 1) {//选择了第ii个附件v += items[vec[ii]].v;w += items[vec[ii]].w;}}if (j >= v) f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);}}}cout << f[m] << endl;return 0;
}

题目5：开心的金明。

解题思路：01背包问题即可。

C++代码如下，

#include <iostream>using namespace std;const int M = 30010;
int n, m;
int f[M];int main() {cin >> m >> n;for (int i = 1; i <= n; ++i) {int v, p;cin >> v >> p;int w = v * p;for (int j = m; j >= v; --j) {f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);}}cout << f[m] << endl;return 0;
}